2010 年湖北预赛 · 第 7 题

解答

记 $F_a(x)=a{x}^3-x^2+x+1$。取 $x=-1$ 得 $-a-1\ge 0$，故 $a\le -1$；取 $x=1/2$ 得 $a/8+5/4\ge 0$，故 $a\ge -10$。 下面证充分性。两个临界参数满足

对全部 $x\in [-2,1/2]$ 成立，因为 $1-x>0$、$1-2x\ge 0$，且 $5x^2+3x+1=5(x+3/10{)}^2+11/20>0$。 任意 $a\in [-10,-1]$ 都可写为 $a=(1-t)(-10)+t(-1)$，其中 $t\in [0,1]$。于是

在全区间成立。综上参数范围为 $\boxed{[-10,-1]}$。