培玉 · 一试
2025 年福建预赛
特殊三次方程三实根的对称式
F3填空题多项式
已知 为方程
的 个不同实根，且 ，则 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
系数 暗示令 后进行因式分解。
思路
分解所得的一次因子和二次因子给出三个根，再按正负与大小排序。
解答
令 ，则 ，原方程化为
直接分解得
三个根为
由于 ，有
故
于是
因此
复核
展开 的一次项相消，所得正是 。三个根符号不同或数值不同，符合题设的互异性。
方法总结
特殊大系数往往由根式参数的平方组合而来。先识别 ， 可把三次式降为一次因子与二次因子；涉及两根平方差时再用平方差公式，避免展开根式平方。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
须识别247与123的关系并找到线性因子，之后仍要排序三实根才能计算指定根式。
已记下，谢谢！