培玉 · 一试
一试训练题
F2填空题函数的图像与性质
f:R→R满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)+6y²，且f(0)=2。求f(3)+f(-3)，并举一例说明条件相容。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
零输入确定对称点的二次型和，不必解出整个函数。
解答
取x=0得f(y)+f(-y)=2f(0)+6y²=4+6y²。于是f(3)+f(-3)=4+54=58。函数f(t)=3t²+2满足全部条件，因为两边都等于6x²+6y²+4，故题设相容。 所求为 。
复核
条件改为非齐次二次差分关系，不能沿用原乘法关系推出偶性的结论；只确定对称和，不宣称f唯一。
方法总结
零输入确定对称点的二次型和，不必解出整个函数。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
零输入确定对称点的二次型和，不必解出整个函数。
已记下，谢谢！