同一骨架 2024 年广西预赛 · P006484
两题都先把对数或指数外形还原为正整数幂等式，再逐素数比较指数，迫使未知底数具有严格的完全幂结构。只有先完成这一结构限制，后面的参数枚举或增长比较才有穷尽性。
一题由分数指数限制两个底数后作平方差配对，另一题由单一素数底数限制未知整数后比较指数参数。
培玉 · 一试
2026 年湖北预赛
分数指数型对数条件确定整数
F3填空题数论
已知正整数 满足
则 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
分数指数幂仍为整数，会迫使底数的各个素因数指数分别被分母整除。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
因此可把 分别写成平方与四次方，再把差 化为两个正整数因子的乘积。
解答
由对数条件，
等价地，
比较两边每个素因数的指数可知， 的所有素因数指数均为偶数， 的所有素因数指数 均为 的倍数。故存在正整数 ，使得
于是
两个因子均为正整数。 的正因数分解只有
若
则 ，不可能。故只能有
从而 。于是
所以
复核
，，且 ；对数的两个底数 均为正且不等于 ，所有定义条件满足。
方法总结
当整数的分数次幂仍为整数时，应转为素因数指数的整除条件。随后若出现两个偶次幂之差， 优先作平方差分解，并逐一检查有限的因数对。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
从整数条件识别a=u²、c=v⁴，再把差65化为两个正因子的乘积，用平方性排除一组因子分解。
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同一骨架 2024 年广东预赛 · P006477
两题的对数等式先不在实数范围内盲求底数，而是合并成整数幂等式，逐素因子比较指数。完成这种离散结构还原后，再利用其余条件判断参数最小值或唯一可行配置。
一题剩余素因子指数按坐标单调，另一题还要把完全幂之差拆成因数对；二者都必须保留对数底数的合法条件。
已记下，谢谢！