培玉 · 一试
2011 年天津预赛 · 第 12 题
F2填空题复数的概念与运算
复数 满足 ，则 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
把模长看作非负实参数，先整理成一个关于复数的线性方程；两边取模平方后只剩模长本身。
解答
令 ，原式化为
两边取模平方得
由 ，唯一可能值是 。此时
它的模确为 ，故
复核
对所构造的 ，原式左边 与右边 都等于 。系数 不会为零，取模后得到的唯一候选因此确为原方程的解。
方法总结
含模长的复数线性式可先以模长设元，再用模的乘法消去复数方向；求出模长后仍要还原一个满足原等式的复数。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
把未知模长设为非负参数后，原条件成为复数线性式；取模平方可消去方向，但仍须还原一个满足原等式的复数，确认模长候选不是增解。
已记下，谢谢！