2026 年江西预赛

解答

不妨设正方体棱长为 $1$。先取三个顶点。对任意一个坐标方向，三个顶点的该坐标 若不全相同，就恰好给三条边的距离平方总和贡献 $2$。因此三个顶点组成的三角形， 三边平方的可能类型只有

前两类是直角三角形，只有第三类是等边锐角三角形。两顶点的距离平方为 $2$ 当且仅当 它们在三个二进制坐标中的奇偶性相同。八个顶点按奇偶性分成两个正四面体，每个正四面体 任取三个顶点均给出一个等边三角形，故这一类共有

个。

再考虑中心 $O$ 与两个顶点 $U,V$。有

若 $U,V$ 相邻，则 $U{V}^2=1<O{U}^2+O{V}^2=\frac{3}{2}$，三个角均为锐角；共有正方体的 $12$ 条棱可选。若 $U{V}^2=2$，则 $U{V}^2>O{U}^2+O{V}^2$，为钝角三角形；若 $U{V}^2=3$，则 $U,O,V$ 共线，不能构成三角形。因此锐角三角形共有

个。全部三点组共有 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{3}\right)=84$ 个，所求概率为