培玉 · 一试
2025 年北京预赛
半角恒等条件下的外接圆半径
F3填空题三角函数综合
在 中，
已知 ，则 的外接圆半径为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
先把等式两边都化成角的和差。
思路
条件最终只限制角 ，再用正弦定理求外接圆半径。
解答
因为
且 ，原等式约去 后化为
利用 ，有
因此 。由于 ，可得
由正弦定理 ，所以
复核
三角形内角保证所有约去的余弦、正弦因子均非零； 时原三角恒等条件可反向验证。
方法总结
含半角和差的三角形条件，先使用和差化积，再借 将多角关系压缩为一个内角的方程。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
须用半角和差连续整理到sin(A−B)=sinB+sinC，再借内角和提出sinB以锁定A为120度。
已记下，谢谢！