2021 年山东预赛

解答

记所求式为 $T$，只考虑其中各实数幂均有定义的输入。等比数列可写为 $v_k=V{q}^{k-1}$，其中 $V,q\ne 0$，所以 $\ln |v_k|=\ln |V|+(k-1)\ln |q|$；等差数列记为 $u_k=U+(k-1)d$。由共同指标，$a=u_m=v_m,b=u_n=v_n,c=u_p=v_p$。每个已定义实数幂都非零且其模等于底数绝对值的同次幂，因此 $\ln |T|=(b-c)\ln |a|+(c-a)\ln |b|+(a-b)\ln |c|$。常数项系数相加为零，指标项的系数为 $d[(n-p)(m-1)+(p-m)(n-1)+(m-n)(p-1)]=0$，故 $|T|=1$，实值只可能为一或负一。两者确可取得：取等差数列 $u_k=3k-4$、等比数列 $v_k=-(-2{)}^{k-1}$，在指标 $1,2,4$ 得 $a=-1,b=2,c=8$，此时 $T=(-1{)}^{-6}\cdot 2^9\cdot 8^{-3}=1$。再取 $u_k=3k/2-2$、$v_k=-(-2{)}^{k-1}/2$，相同指标给 $a=-1/2,b=1,c=4$，此时 $T=(-1/2{)}^{-3}\cdot 1^{9/2}\cdot 4^{-3/2}=-1$。所以全部可能值为 $\boxed{\{-1,1\}}$。