易混 2018 年全国高中数学联赛一试（A 卷） 第 5 题 · P007301
两题都要把函数值限制还原成输入范围，但一个可在全域利用奇性与严格单调，另一个仅有局部单调，须先用周期和偶性折回基段。未经归约跨区间比较，是它们容易混用的关键。
全域比较后求最不利输入，与局部单调区间内保持函数值的折返，是不同的前置步骤。
培玉 · 一试
2025 年内蒙古预赛
双曲正弦函数和恒正的参数范围
F2填空题函数的图像与性质
已知函数
若对任意 ，都有
则实数 的取值范围是。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
是双曲正弦函数。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
利用两个双曲正弦之和的公式，原不等式的符号只由一个一次式决定， 再在闭区间上取最不利端点。
解答
由恒等式
取 ，，得到
因为 ，且 与 同号，所以题设等价于
左端关于 单调递减，其最小值在 处取得，故必须且只需
因此
复核
时取 ，原式等于零，不满足严格不等式； 时区间内所有 均使 ，充分性成立。
方法总结
遇到 的和，优先识别为 并使用和化积。 恒成立问题化为一次函数后，只需检查区间上使其最小的端点，同时留意严格不等式会排除端点参数。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
识别给定指数差为严格递增奇函数后，把函数和的正负化为线性条件，检查区间右端即可。
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同一骨架 2017 年全国高中数学联赛一试（B 卷） 第 9 题 · P007263
两题都先把原函数或绝对值结构化简，使全称条件变成闭区间上一条关于输入的单调限制。必须找到最不利端点，并证明端点条件对整个区间充分；严格不等式会把真正达到等号的参数排除。
一题指数换元后得到参数的上下界交集，另一题由函数和的符号化为一次式，再取使它最小的输入。
已记下，谢谢！