垫脚石（相关题 → 此题） 2026 年中科大少年班入围考 第 16 题 · P009816
先练习把切线的过点条件写成函数值与导数值的代数关系，再处理同一斜率对应两个切点的情形。两题都先用点斜式明确切线的常数项，后者还需用两条线的截距差计算距离。
前题只需一个点处的局部线性关系；后题必须确认有两个不同切点，并保留平行线距离公式中的法向量长度。
培玉 · 一试
2023 年上海高中数学竞赛（高三卷）
F2填空题导数的应用
在平面直角坐标系 中，曲线 有两条互相平行的切线。若这两条切线的斜率均为 ，且两条切线之间的距离为 ，则实数 的值为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
切点横坐标由导数等于 决定，两个切点关于原点对称。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
写出两条切线的截距，再用平行线距离公式即可。
解答
设切点横坐标为 。由
得 ，其中 且 。在 处的切线为
两条切线的常数项之差为 ，故它们的距离为
于是 ，从而
复核
时切点横坐标确为 ，两切线斜率均为 ，且距离计算为 。
方法总结
给定切线斜率时，先由导数求切点参数；对称切点常使截距成相反数，平行线距离便可直接化为参数方程。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
给定斜率直接确定两个切点为正负s，写切线截距后用平行线距离反求s与a，属于标准切线计算。
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