培玉 · 一试
2026 年湖北预赛
正三棱锥中垂直条件确定体积
F2填空题立体几何综合
在正三棱锥 中， 为 的中点， 为 的靠近 点的三等分点， 且 。若 ，则三棱锥 的体积为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
正三棱锥的三条侧棱相等、底面为正三角形。
思路
以 为原点后，三条侧棱向量的长度相等、 两两数量积也相等；中点、三等分点和垂直条件都能在线性运算中直接表达。
解答
以 为原点，记
设底面正三角形的边长为 。由正三棱锥的对称性，
且三组两两数量积均为
因为 是 的中点， 是 上靠近 的三等分点，故
由 ，
所以 。由 (1)，
设正三棱锥的高为 ，高的垂足为底面中心 。正三角形外接圆半径 ，因此
底面积为
故三棱锥体积为
复核
满足 ，所得底边长与高都为正，正三棱锥非退化。重新代入数量积可得 ，垂直条件确实成立。
方法总结
正棱锥中若给出侧棱上的分点与垂直关系，以顶点为原点使用侧棱向量最自然。对称性把多个 数量积压缩为同一参数，再由底边、底面外接圆半径和高依次求体积。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
正三棱锥使三组向量内积相等，按中点和三等分点展开一个垂直式即可定底边，再常规计算高与体积。
用到的方法（会透露解法方向）
核心工具：展开模平方与数量积
已记下，谢谢！