2011 年天津预赛 · 第 9 题

解答

设 $t=\tan \alpha =3^x>0$，则 $\tan \beta =3^{-x}=1/t$。由于 $\alpha -\beta =\pi /6$，正切差公式给 $(t-1/t)/2=1/\sqrt{3}$，即 $t^2-2t/\sqrt{3}-1=0$。两根为 $\sqrt{3}$ 与 $-1/\sqrt{3}$，只保留正根，故 $3^x=\sqrt{3}$，得到 $\boxed{x=1/2}$。