2021 年上海预赛

解答

按通常记号令 $a=BC,b=CA=9,c=AB$。由正弦定理及 $A=2B$，

结合余弦定理可得

因此 $3\mid a$。设 $a=3k$，则 $c=k^2-9$。由 $c>0$ 得 $k\ge 4$； 由三角形不等式 $a+b>c$ 得

即 $k<6$。故 $k=4$ 或 $5$，相应的 $(a,c)$ 为 $(12,7)$ 或 $(15,16)$。 两组都确实构成三角形；由 $a^2=b(b+c)$ 反代余弦定理可得 $2\cos B=a/b$，再由正弦定理得 $\sin A=\sin 2B$。这里 $c\ne b$， 排除了 $A=\pi -2B$，故确有 $A=2B$。所以