培玉 · 一试
2019 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 10 题
F4解答题抛物线
在平面直角坐标系 中，圆 与抛物线 恰有一个公共点，且圆 与 轴相切于 的焦点 ，求圆 的半径。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
先独立尝试，再展开工具说明与想法来源。
思路
导数的符号可判断函数增减；连续函数先严格下降再严格上升、两端趋于正无穷时，水平线只有在最低值处与它恰交一次。这里的变量须先证明为正，才可除以它并讨论两端极限。
想法从哪来：只因圆和抛物线只有一个公共点就直接写“相切”，会跳过另外交点是否存在的关键。先利用圆与横轴的切点固定圆心横坐标，半径同时决定圆心高度；关于横轴反射后只需研究圆心在上方的情况。 抛物线方程能把横坐标换成纵坐标的平方，代入圆后，不必解四次方程，而可把半径单独放在一边。这样每个正的纵坐标都对应一个“需要多大半径才能经过它”的数值，问题变成水平线与一条单变量曲线的交点数。先看两端都向上无界，再证明中间只有一个最低点，就能完整区分无交点、一个交点和两个交点。最后核对纵坐标与抛物线上点是一一对应。
利用切圆中心位置把交点数问题化为一元正函数与水平线的交点数。
解答
焦点为 。关于x轴反射不改变半径，故可设圆心为 、，方程 。代入 得 ，左端恒正，故y必须正。令 ，则 。它在 严格下降，之后严格上升，且两端趋于正无穷。因此与水平线r恰有一个交点当且仅当r为唯一最小值 。每个y唯一对应抛物线点，故没有另一个同y交点。
复核
不能把有一个公共点直接当作已经证明相切；必须排除零交或两交。圆心在x轴下方由反射给同一半径，r=0不是圆，y=0也不是交点。
方法总结
几何唯一交点可转成单变量最小值，导数分支与两端极限保证根数完备。
为什么评为 F4（会透露解法方向）
利用切圆中心位置把交点数问题化为一元正函数与水平线的交点数。
已记下，谢谢！