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解析几何综合

从这里开始

目标训练建设中。知识要点、方法卡和分级真题已可使用；先从一道真题开始，卡住时逐级看提示，核对后再换题验证。

从 F1 第一题开始随机来一道 F2

本专题核心公式速查

互动实验：极点、极线与调和点列

解析几何综合题常把两种曲线、切线、圆族或面积放在同一构型中。先选能覆盖实际点集的参数，再用根的整体关系代替逐点求解；距离、面积与相切条件各有适合的表达。每一次消元都要带着分支、重根和可达性走到最后。

先修（培玉高中数学）：直线的方程圆的方程直线与圆、圆与圆的位置关系椭圆双曲线抛物线

知识要点

标准式与几何定义须使用同一参数约定

椭圆的 $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ 与双曲线的 $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ 符号不同；抛物线 $y^{2} = 4 h x$ 的焦点为 $(h, 0)$ 、准线为 $x = - h$ ，这里 $h > 0$ 。例： $x^{2} /25 + y^{2} /16 = 1$ 的焦半距为 $3$ ， $x^{2} /9 - y^{2} /16 = 1$ 的焦半距为 $5$ ，而 $y^{2} = 8 x$ 的焦点为 $(2, 0)$ 。换用 $y^{2} = 2 p x$ 时要同步换焦点坐标。

距离有时能先用定义或圆幂改写

焦点距离可由准线或两焦距之和转成坐标的一次式；涉及圆的割线乘积，先判断点在圆内还是圆外。圆幂是 $∣ PC ∣^{2} - R^{2}$ ，普通长度乘积取其绝对值。例：圆心 $(1, 0)$ 、半径 $2$ ，点 $(5, 0)$ 的圆幂为 $12$ ；在圆心处圆幂为 $- 4$ ，过圆心的弦两段长度乘积却为 $4$ 。圆与另一曲线的最短距离还须核是否相交，不能一律作差。

参数化应覆盖所需点，并保留竖直切线

抛物线 $y^{2} = 4 x$ 可写成 $T (t) = (t^{2}, 2 t)$ ， $t$ 遍历实数。不同参数 $s, t$ 的弦为 $x - (s + t) y /2 + s t = 0$ ，切线为 $x - t y + t^{2} = 0$ 。例： $s = 1, t = - 1$ 时弦为 $x = 1$ ；切点参数 $t = 1$ 时切线为 $x - y + 1 = 0$ 。这种写法含 $t = 0$ 对应的竖直切线 $x = 0$ ，直接设有限斜率可能漏掉它。

弦长与交点对称量可由根和、根差整体求

直线 $y = k x + d$ 与曲线联立后，若横坐标为二次方程的两根，则弦长为 $1 + k^{2} ∣ x_{1} - x_{2} ∣$ ；根差可由 $(x_{1} + x_{2})^{2} - 4 x_{1} x_{2}$ 求出。例：圆 $x^{2} + y^{2} = 5$ 与 $y = x + 1$ 联立得 $x^{2} + x - 2 = 0$ ，两根 $1, - 2$ ，所以弦长为 $32$ 。首项系数为零时已非二次方程，不能照套根差式。

分支、重根与公共端点决定交点个数

含绝对值的轨迹先拆成实际允许的支，再给每个方程附上根的符号范围。重根只算一个点，公共端点也只能计一次。例： $y^{2} = 2 x + 2∣ x ∣$ 在 $x \geq 0$ 时是 $y^{2} = 4 x$ ，在 $x < 0$ 时是负半轴上的 $y = 0$ 。水平线 $y = 1$ 仅交于 $(1/4, 1)$ ；原点属于整体轨迹，但没有再贡献第二个不同交点。

行列式把面积与线性变换连接起来

三角形面积为 $\frac{1}{2} ∣ det (B - A, C - A) ∣$ 。对所有点同时施加线性变换 $T$ 后，面积乘 $∣ det T ∣$ ；相同平移不改变面积。例：顶点 $(0, 0), (2, 0), (0, 3)$ 的面积为 $3$ ，变换 $(x, y) \mapsto (x + 2 y, y)$ 的行列式为 $1$ ，面积仍为 $3$ ；变换 $(x, y) \mapsto (2 x, 3 y)$ 后面积为 $18$ 。保面积不代表保长度或角度。

缺项多项式可统一多个交点的关系

把参数点 $(t, t^{2})$ 代入圆 $x^{2} + y^{2} + D x + E y + F = 0$ ，得到 $t^{4} + (1 + E) t^{2} + D t + F = 0$ ，三次项缺失，全部四根之和为零。例：圆 $x^{2} + y^{2} - 6 y + 4 = 0$ 给 $t^{4} - 5 t^{2} + 4 = 0$ ，四个参数为 $- 2, - 1, 1, 2$ ，对应四个不同实交点。必须另核根是否实、是否互异；缺项关系本身不保证这些条件。

最值前先落实参数范围与等号能否实现

消元、平方或换元得到的条件，可能只有必要性。求出候选最值后，要还原实际点、切线和各分支。例： $0 < t < 1$ 时，柯西不等式给 $1 + 3 t^{2} + 1 - t^{2} \leq 4/ 3$ ；等号要求 $1 + 3 t^{2} = 3 1 - t^{2}$ ，即 $t^{2} = 2/3$ ，确在允许范围内。若等号参数仅在被删去的端点，所得数可能只是上确界。

方法卡

把距离转成焦点定义、圆心距或圆幂

先用焦点定义或圆心距替换距离，再回验径向等号点。

完整讲解 · 例题 · 可练 11 题

一、是什么

先认识这些量

点到圆的最短距离是点到圆心距离与半径之差的绝对值。抛物线 $y^{2} = 4 a x$ 的焦半径为 $x + a$ ，其中 $a > 0$ 。

为什么这样做

当圆心恰是焦点时，曲线上点到圆的距离可先由横坐标表示，再分圆内外讨论。

先看一道例题

例 1：抛物线到圆

$P = (4, 4)$ ，圆心 $F = (1, 0)$ 、半径 $2$ ，求 $P$ 到圆的最短距离。

怎么看出来：

圆心正是抛物线的焦点。

解：

$PF = 5$ ，点在圆外，最短距离 $5 - 2 = 3$ 。取圆上点 $F + (2/5) (P - F) = (11/5, 8/5)$ 实现。

答案：

$3$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
目标由焦点距离、两定点距离之和、动点到圆的距离或固定割线乘积构成。	先用焦点定义或圆心距替换距离，再回验径向等号点。
$P = (4, 4)$ ，圆心 $F = (1, 0)$ 、半径 $2$ ，求 $P$ 到圆的最短距离。	圆心正是抛物线的焦点。

三、怎么用

识别焦点、圆心与半径。
用定义计算圆心距。
按圆内外求距离差。
构造圆上的径向点验证取等。

四、再做一道

例 2：圆内定点

点 $P = (1, 0)$ 到圆 $x^{2} + y^{2} = 9$ 的最短距离？

怎么看出来：

圆心距一小于半径三。

解：

最短距离 $3 - 1 = 2$ ，圆上点 $(3, 0)$ 取等。

答案：

$2$ 。

五、容易错在哪

距离差须先辨圆内外，直接减半径可能给负数。

真题

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以切点参数或消元条件保证相切

由曲线切点参数写出切线，再用第二对象的相切条件筛选。

完整讲解 · 例题 · 可练 8 题

一、是什么

先认识这些量

抛物线 $y = x^{2}$ 在横坐标 $t$ 的切线为 $y = 2 t x - t^{2}$ 。圆与直线相切等价于圆心到直线距离等于半径。

为什么这样做

外点条件可变成切点参数的二次方程；公切线则把同一条直线代入另一曲线的相切条件。

先看一道例题

例 1：外点两切线

从 $(0, - 1)$ 向 $y = x^{2}$ 作切线，求方程。

怎么看出来：

经过点给切点参数平方。

解：

$- 1 = - t^{2}$ ，所以 $t = \pm 1$ ，切线为 $y = 2 x - 1, y = - 2 x - 1$ ，两切点不同。

答案：

$y = \pm 2 x - 1$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
一条直线同时受两曲线约束，涉及公切线、切点三角形、抛物线切线或曲线相切阈值。	由曲线切点参数写出切线，再用第二对象的相切条件筛选。
从 $(0, - 1)$ 向 $y = x^{2}$ 作切线，求方程。	经过点给切点参数平方。

三、怎么用

选能覆盖切点的参数。
写切线方程。
代入经过点或另一相切条件。
核不同切点、特殊方向与距离正性。

四、再做一道

例 2：公切线检验

直线 $y = 2 x - 1$ 是否同时切于 $y = x^{2}$ 和圆 $x^{2} + (y - 4)^{2} = 5$ ？

怎么看出来：

分别核重根与圆心距。

解：

与抛物线联立得 $(x - 1)^{2} = 0$ 。圆心 $(0, 4)$ 到直线 $2 x - y - 1 = 0$ 距离 $5/ 5 = 5$ ，等于半径，故为公切线。

答案：

是。

五、容易错在哪

代数重根要配合原曲线参数域，不能把无效参数当切点。

真题

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用根和、根差控制弦与共线点段长

只求弦长或中点时，用根和根差，避免先展开两个复杂交点。

完整讲解 · 例题 · 可练 15 题

一、是什么

先认识这些量

二次方程 $A t^{2} + Bt + C = 0$ 的根和为 $- B / A$ ，根积为 $C / A$ 。两不同实根的差平方为根和平方减四倍根积。

为什么这样做

若用横坐标参数，实际弦长还要乘 $1 + k^{2}$ ；竖直线须改用纵坐标或单位方向。

先看一道例题

例 1：圆的水平弦

圆 $(x - 1)^{2} + y^{2} = 4$ 与 $y = 0$ 相交，求中点与弦长。

怎么看出来：

横坐标二次根的平均就是中点横坐标。

解：

$x^{2} - 2 x - 3 = 0$ ，根和 $2$ ，根差 $4 + 12 = 4$ ，故中点 $(1, 0)$ ，弦长 $4$ 。

答案：

中点 $(1, 0)$ ，弦长 $4$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
直线与曲线有两个交点，已知中点、焦弦、弦长比或四个共线交点的段长关系。	只求弦长或中点时，用根和根差，避免先展开两个复杂交点。
圆 $(x - 1)^{2} + y^{2} = 4$ 与 $y = 0$ 相交，求中点与弦长。	横坐标二次根的平均就是中点横坐标。

三、怎么用

选合适的交点参数。
联立得二次式并核两个实根。
计算根和积及根差。
乘实际长度倍率，核分支与点序。

四、再做一道

例 2：斜椭圆弦

椭圆 $x^{2} /9 + y^{2} /4 = 1$ 被 $y = x$ 截得弦长多少？

怎么看出来：

横坐标差还要乘根号二。

解：

$13 x^{2} = 36$ ，横坐标差 $12/ 13$ ，故弦长 $12 2/13$ 。

答案：

$12 2/13$ 。

五、容易错在哪

横坐标差是水平投影长度，斜弦不能直接把它当长度。

真题

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分支计数并逐段求实际值域

分支分别求真实解集，再合并；不能用最小最大值自动填平空隙。

完整讲解 · 例题 · 可练 9 题

一、是什么

先认识这些量

绝对值曲线按符号分支。每支只接受本支范围内的根。两个分支共有的端点只计一个几何点。

为什么这样做

代数方程给候选，分支不等式筛合法点。求值域时也应先求各参数区间的像再取并集。

先看一道例题

例 1：绝对值曲线

直线 $y = x + 1$ 与 $y = ∣ x ∣$ 有几个交点？

怎么看出来：

按横坐标正负分别联立。

解：

$x \geq 0$ 时 $x = x + 1$ 无解； $x < 0$ 时 $- x = x + 1$ 得 $x = - 1/2, y = 1/2$ ，合法。

答案：

$1$ 个。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
绝对值轨迹由多支组成，参数区间不连通，或相切、降次、端点会改变交点数。	分支分别求真实解集，再合并；不能用最小最大值自动填平空隙。
直线 $y = x + 1$ 与 $y = ∣ x ∣$ 有几个交点？	按横坐标正负分别联立。

三、怎么用

列各分支的方程与范围。
逐支求交点或值域。
单列重根、端点和降次。
合并去重并回原条件检查。

四、再做一道

例 2：双曲线截线

竖线 $x = c$ 与 $y^{2} = x^{2} - 1$ 的交点数如何随 $c$ 变化？

怎么看出来：

纵坐标平方是否为正决定个数。

解：

$y^{2} = c^{2} - 1$ 。 $∣ c ∣ > 1$ 有两点， $∣ c ∣ = 1$ 只有 $y = 0$ 一点， $∣ c ∣ < 1$ 无实点。

答案：

依次为 $2, 1, 0$ 个。

五、容易错在哪

两条代数分支在端点可能表示同一点，不能把重根计两次。

真题

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曲线交点解不出来：把横坐标当方程的根，用根与系数的关系

两条曲线的交点坐标可能很难解，但它们是某个多项式方程的根。多项式的系数直接给出这些根的和、两两乘积之和，以及乘积。很多要求的量只和这些有关，不必把根解出来。

完整讲解 · 例题 · 可练 5 题

一、是什么

根与系数的关系

二次方程 $x^{2} + p x + q = 0$ 的根 $x_{1}, x_{2}$ 满足 $(x - x_{1}) (x - x_{2}) = x^{2} + p x + q$ ，比较系数得 $x_{1} + x_{2} = - p$ ， $x_{1} x_{2} = q$ 。 $3$ 次也一样： $(x - x_{1}) (x - x_{2}) (x - x_{3}) = x^{3} - (x_{1} + x_{2} + x_{3}) x^{2} + (x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} + x_{3} x_{1}) x - x_{1} x_{2} x_{3}$ 。所以 $x^{3} + p x^{2} + q x + r = 0$ 的 $3$ 个根满足：根的和是 $- p$ ，两两乘积之和是 $q$ ，根的积是 $- r$ 。这些式子要求最高次项系数是 $1$ ，不是 $1$ 时先除掉。

缺一项就给出根的和

如果方程没有次高次项，根的和就是 $0$ 。例如直线 $y = k x + m$ 和曲线 $y = x^{3}$ 联立得 $x^{3} - k x - m = 0$ ，缺 $x^{2}$ 项。若这个方程的根全是实数，把每个根按重数计入，横坐标之和就是 $0$ 。重数是因式分解时同一个因子重复出现的次数： $x^{3} - 3 x + 2 = (x - 1)^{2} (x + 2)$ 中， $x = 1$ 的重数是 $2$ ，和为 $1 + 1 - 2 = 0$ 。实根也可能不够： $y = - x$ 与 $y = x^{3}$ 联立得 $x (x^{2} + 1) = 0$ ，只有原点一个实交点。所以不同交点的个数要另外检查。已知两个交点 $(1, 1), (2, 8)$ ，直线是 $y = 7 x - 6$ ，第 $3$ 个交点横坐标就是 $- 3$ 。检查： $7 (- 3) - 6 = - 27 = (- 3)^{3}$ 。

把其他量写成根的和与积

$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} = (x_{1} + x_{2} + x_{3})^{2} - 2 (x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} + x_{3} x_{1})$ ，因为把括号平方展开，多出的正好是 $2$ 倍两两乘积。三角形的重心是 $3$ 个顶点坐标的平均值，所以只要知道坐标之和，就能求重心，不用知道每个顶点。

怎样确认实根真的存在

多项式的图象是一条连着的曲线，不会跳断。如果某个区间两端的函数值一正一负，一端的点在横轴上方，另一端在下方，曲线从一端走到另一端必须穿过横轴，所以这个区间内至少有 $1$ 个根。几个互不重叠的区间各有 $1$ 个根，这些根就互不相同。例如 $f (x) = x^{2} - 2$ ， $f (1) = - 1$ ， $f (2) = 2$ ，所以 $1$ 和 $2$ 之间有根，这个根是 $2$ 。

圆和抛物线联立，正好缺一项

圆 $(x - p)^{2} + (y - q)^{2} = R^{2}$ 展开后是 $x^{2} + y^{2} + D x + E y + F = 0$ 的样子。它与抛物线 $y = x^{2}$ 联立，得 $x^{4} + (1 + E) x^{2} + D x + F = 0$ ，没有 $x^{3}$ 项。所以若这个方程的根全是实数，按重数计入后记为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ ，比较 $(x - x_{1}) (x - x_{2}) (x - x_{3}) (x - x_{4})$ 中 $x^{3}$ 的系数，得 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 0$ 。这条结论要求抛物线和圆方程都是这个样子，不同交点的个数要另外检查。如果算出的第 $4$ 个值和前面某个相同，说明那里是重根，圆在该点与抛物线相切，并没有新交点。

先看一道例题

例 1：不解方程求重心

曲线 $y = x^{2}$ 与 $y = x^{3} - 2 x + 1$ 有 $3$ 个交点。求这 $3$ 个交点构成的三角形的重心。

怎么看出来：

联立得到 $3$ 次方程，没有容易看出的根。重心只要坐标之和，正好可以从系数读出。

解：

联立得 $x^{3} - x^{2} - 2 x + 1 = 0$ 。记 $f (x)$ 为左边， $f (- 2) = - 7$ ， $f (- 1) = 1$ ， $f (1) = - 1$ ， $f (2) = 1$ 。多项式的图象不会跳断，在 $(- 2, - 1)$ ， $(- 1, 1)$ ， $(1, 2)$ 这 $3$ 个互不重叠的区间上，两端一个在横轴上方、一个在下方，所以每个区间内至少有 $1$ 个根。 $3$ 次方程的根不会多于 $3$ 个，所以恰好是 $3$ 个不同的实根。根与系数的关系给出 $x_{1} + x_{2} + x_{3} = 1$ ，两两乘积之和是 $- 2$ 。点在 $y = x^{2}$ 上，所以 $y_{1} + y_{2} + y_{3} = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} = 1^{2} - 2 (- 2) = 5$ 。这 $3$ 个点在一条抛物线上且横坐标不同，一条直线和抛物线最多有 $2$ 个交点，所以它们不共线，确实是三角形。重心是坐标和除以 $3$ 。数值检查：根约为 $- 1.247, 0.445, 1.802$ ，和为 $1$ ，平方和为 $5$ 。

答案：

重心是 $(\frac{1}{3}, \frac{5}{3})$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
两条曲线有 $3$ 个交点，联立后方程解不出来	不解，读根的和、两两乘积之和、根的积
问交点三角形的重心，或坐标的平方和	纵坐标是横坐标的一次或二次式时，能写成根的和与两两乘积之和；其他情况先看还需要哪些量
圆和抛物线 $y = x^{2}$ 相交，已知 $3$ 个交点，问第 $4$ 个	联立后缺 $x^{3}$ 项， $4$ 根之和为 $0$
两条抛物线（一条开口向上，一条开口向右），问交点是否共圆	两个方程相加，看能否得到圆（见进阶“构造圆”）
点在 $x y = 1$ 或 $y^{2} = 4 x$ 上，三角形的垂心、外心或过定点的弦	用参数写点，把结论写成对称式（见进阶“参数与对称式”）

三、怎么用

联立两条曲线，消去一个字母，把方程整理成最高次项系数为 $1$ 。例如 $y = x^{3}$ 与 $y = 3 x - 1$ 联立，得 $x^{3} - 3 x + 1 = 0$ 。
读出根的和、两两乘积之和、根的积。没有 $x^{2}$ 项，所以根的和是 $0$ ；两两乘积之和是 $- 3$ ；根的积是 $- 1$ 。
确认根真的存在且不同。记 $f (x) = x^{3} - 3 x + 1$ ， $f (- 2) = - 1$ ， $f (0) = 1$ ， $f (1) = - 1$ ， $f (2) = 3$ 。图象不会跳断，在 $(- 2, 0)$ ， $(0, 1)$ ， $(1, 2)$ 这 $3$ 个互不重叠的区间上，两端一个在横轴上方、一个在下方，所以每个区间内至少有 $1$ 个根，共 $3$ 个不同的实根。
把要求的量写成这些量。横坐标的平方和是 $0^{2} - 2 (- 3) = 6$ ，不用解出任何一个根。
回到图形检查。这 $3$ 个点都在直线 $y = 3 x - 1$ 上，有 $3$ 个交点，但不构成三角形。如果题目要三角形，就要说明三点不共线。

四、再做一道

例 2：圆上的第 4 个交点

抛物线 $y = x^{2}$ 上有 $A (1, 1)$ ， $B (2, 4)$ ， $C (3, 9)$ 。 $△ A BC$ 的外接圆与抛物线还交于另一点 $P$ ，求 $P$ 的坐标。

怎么看出来：

求外接圆再解 $4$ 次方程很麻烦。圆和抛物线联立缺 $x^{3}$ 项，已知 $3$ 个根，第 $4$ 个由根的和直接得到。

解：

设圆方程为 $x^{2} + y^{2} + D x + E y + F = 0$ ，代入 $y = x^{2}$ 得 $x^{4} + (1 + E) x^{2} + D x + F = 0$ ，没有 $x^{3}$ 项。 $1, 2, 3$ 是它的根。设第 $4$ 个根是 $m$ ，则 $x^{4} + (1 + E) x^{2} + D x + F = (x - 1) (x - 2) (x - 3) (x - m)$ 。比较 $x^{3}$ 的系数： $1 + 2 + 3 + m = 0$ ， $m = - 6$ 。它与 $1, 2, 3$ 都不同，所以是新的交点， $P$ 的纵坐标是 $(- 6)^{2} = 36$ 。检查：展开 $(x - 1) (x - 2) (x - 3) (x + 6) = x^{4} - 25 x^{2} + 60 x - 36$ ，所以 $1 + E = - 25$ ， $E = - 26$ ，圆是 $x^{2} + y^{2} + 60 x - 26 y - 36 = 0$ 。把 $(1, 1)$ 代入得 $1 + 1 + 60 - 26 - 36 = 0$ ，把 $(- 6, 36)$ 代入得 $36 + 1296 - 360 - 936 - 36 = 0$ ，都成立。 $B, C$ 也可以代入验证。

答案：

$P (- 6, 36)$ 。

五、容易错在哪

根与系数的关系只说明根的和与积，并不保证这些根都是实数或互不相同。要说“有 $3$ 个交点”，需要另外说明实根个数。
用缺项求出的第 $4$ 个根可能与已知根重合，这时没有新的交点，只是相切。
用代数式算出结果后，要回到几何确认：三点不共线才是三角形，半径的平方大于 $0$ 才是圆。
角平分线、线段比这类几何条件转成参数后，只推出了必要条件。还要把解代回，确认原来的几何条件成立，例如比值对应的确实是内角平分线。

进阶：构造圆 · 先修：圆的一般方程

方程相加：造出经过全部交点的圆

同时满足两个方程的点，也满足这两个方程相加的结果。如果相加或消元后只剩 $A (x^{2} + y^{2}) + D x + E y + F = 0$ （ $A \neq = 0$ ）的形式，再无其他项，得到的才可能是圆。必要时可以先把一个方程乘一个数，或用消元后的多项式关系代掉高次项。最后要确认半径的平方大于 $0$ ，否则不是真正的圆。

例 3：相加得到圆

抛物线 $y = x^{2} - 2$ 与 $x = y^{2} - 2$ 有 $4$ 个交点。证明它们在同一个圆上，并求这个圆的圆心和半径。

怎么看出来：

一条开口向上，一条开口向右，一个方程有 $x^{2}$ ，另一个有 $y^{2}$ 。相加后系数正好相等。

解：

把两式写成 $x^{2} - y - 2 = 0$ ， $y^{2} - x - 2 = 0$ ，相加得 $x^{2} + y^{2} - x - y - 4 = 0$ 。交点同时满足两式，所以满足这个新方程。配方得 $(x - \frac{1}{2})^{2} + (y - \frac{1}{2})^{2} = \frac{9}{2}$ ，半径的平方是正数，所以是一个圆。再确认确实有 $4$ 个不同的交点：两式相减得 $(x - y) (x + y + 1) = 0$ 。 $y = x$ 时 $x^{2} - x - 2 = 0$ ，得 $(2, 2)$ 和 $(- 1, - 1)$ 。 $y = - x - 1$ 时 $x^{2} + x - 1 = 0$ ，得 $x = \frac{- 1 \pm 5}{2}$ ，对应 $2$ 个点。共 $4$ 个不同的点。检查： $(2, 2)$ 代入 $4 + 4 - 2 - 2 - 4 = 0$ ，成立。

答案：

$4$ 个交点共圆，圆心 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ ，半径 $\frac{3 2}{2}$ 。

进阶：参数与对称式 · 先修：抛物线的方程，三角形的垂心和外心

曲线上的参数和对称式

曲线上的点可以用一个字母表示： $y = x^{2}$ 上写 $(t, t^{2})$ ， $x y = 1$ 上写 $(t, \frac{1}{t})$ ， $y^{2} = 4 x$ 上写 $(t^{2}, 2 t)$ 。两点的连线、距离都变成参数的式子。三角形的 $3$ 个顶点地位相同时，算好一条边，把字母轮换就得到另外两条边的式子。弦和另一条曲线相切，就联立后令判别式为 $0$ ，得到关于两个参数的等式。如果两个等式只有一个字母不同，作差后常能提出因子： $a^{2} + ab + b^{2} = a^{2} + a c + c^{2}$ 作差得 $(b - c) (a + b + c) = 0$ ，三点互异时 $b \neq = c$ ，所以 $a + b + c = 0$ 。正三角形的重心同时是外心，所以外接圆的圆心就是顶点坐标的平均值；圆和抛物线联立的 $4$ 次方程 $x^{4} + u x^{2} + \dots$ 中， $u$ 是 $4$ 个根的两两乘积之和，可以用来列出圆心满足的关系。内角平分线的条件可以转成距离比： $F$ 在线段 $A B$ 上时， $PF$ 平分 $∠ A PB$ 等价于 $\frac{∣ P A ∣}{∣ PB ∣} = \frac{∣ F A ∣}{∣ FB ∣}$ 。

例 4：用参数写垂心

$A (a, \frac{1}{a})$ ， $B (b, \frac{1}{b})$ ， $C (c, \frac{1}{c})$ 是曲线 $x y = 1$ 上 $3$ 个不同的点。证明 $△ A BC$ 的垂心也在这条曲线上。

怎么看出来：

$3$ 个点的地位相同，所以垂心的坐标大概是 $a, b, c$ 的对称式。先算一条高，再猜一个对称的点去验证。

解：

曲线 $x y = 1$ 上 $3$ 个不同的点不共线，因为直线与它最多有 $2$ 个交点。 $A B$ 的斜率是 $\frac{\frac{1}{b} - \frac{1}{a}}{b - a} = - \frac{1}{ab}$ ，所以过 $C$ 的高斜率是 $ab$ ，方程为 $y - \frac{1}{c} = ab (x - c)$ 。令 $H = (- \frac{1}{ab c}, - ab c)$ ，代入：右边 $ab (- \frac{1}{ab c} - c) = - \frac{1}{c} - ab c$ ，左边 $- ab c - \frac{1}{c}$ ，相等。所以 $H$ 在过 $C$ 的高上。 $H$ 的坐标关于 $a, b, c$ 对称，再算过 $A$ 的高 $y - \frac{1}{a} = b c (x - a)$ ：右边 $b c (- \frac{1}{ab c} - a) = - \frac{1}{a} - ab c$ ，等于左边 $- ab c - \frac{1}{a}$ 。两条高的交点是 $H$ ，所以 $H$ 是垂心。它的两个坐标之积是 $(- \frac{1}{ab c}) (- ab c) = 1$ ，在曲线上。数值检查： $(1, 1), (2, \frac{1}{2}), (- 1, - 1)$ 时 $ab c = - 2$ ， $H = (\frac{1}{2}, 2)$ ， $C H \cdot A B = (\frac{3}{2}, 3) \cdot (1, - \frac{1}{2}) = 0$ 。

答案：

垂心是 $(- \frac{1}{ab c}, - ab c)$ ，在 $x y = 1$ 上。

例 5：焦点弦的参数积

过点 $F (1, 0)$ 的直线交抛物线 $y^{2} = 4 x$ 于 $A, B$ 两点。求 $\frac{1}{∣ A F ∣} + \frac{1}{∣ BF ∣}$ 的值。

怎么看出来：

过定点的弦，用参数表示后两个参数之积是定值。要求的量又能写成参数的式子。

解：

设直线为 $x = n y + 1$ ，这个写法包括竖直的直线（ $n = 0$ ）；水平的直线 $y = 0$ 只交抛物线于原点，不构成弦，不用考虑。代入得 $y^{2} - 4 n y - 4 = 0$ ，所以两根之积 $y_{1} y_{2} = - 4$ 。设 $A (u^{2}, 2 u)$ ， $B (v^{2}, 2 v)$ ，则 $4 uv = - 4$ ， $uv = - 1$ ， $u \neq = 0$ 。距离： $∣ A F ∣^{2} = (u^{2} - 1)^{2} + 4 u^{2} = (u^{2} + 1)^{2}$ ，所以 $∣ A F ∣ = u^{2} + 1$ ；同样 $∣ BF ∣ = v^{2} + 1 = \frac{1}{u ^{2}} + 1 = \frac{u ^{2} + 1}{u ^{2}}$ 。所以 $\frac{1}{∣ A F ∣} + \frac{1}{∣ BF ∣} = \frac{1}{u ^{2} + 1} + \frac{u ^{2}}{u ^{2} + 1} = 1$ 。检查：竖直弦 $A (1, 2), B (1, - 2)$ ， $∣ A F ∣ = ∣ BF ∣ = 2$ ， $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ 。

答案：

$1$ 。

真题

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求坐标三角形的面积：两条边向量的行列式，再整体代入

从同一个顶点写出两条边向量 $(x_{1}, y_{1})$ 、 $(x_{2}, y_{2})$ ，面积就是 $\frac{1}{2} ∣ x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} ∣$ 。不用算边长和高，也不用开方。点的坐标是方程的根时，把根的和、积或根差整体代进去。

完整讲解 · 例题 · 可练 6 题

一、是什么

面积公式为什么成立

先看 $O (0, 0)$ ， $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ ，且 $x_{1} \neq = 0$ 。过 $B$ 作竖线交直线 $O A$ 于 $D$ 。直线 $O A$ 是 $y = \frac{y _{1}}{x _{1}} x$ ，所以 $∣ B D ∣ = y_{2} - \frac{y _{1} x _{2}}{x _{1}}$ 。以 $B D$ 为公共底， $△ OB D$ 、 $△ A B D$ 的高分别是 $∣ x_{2} ∣$ 、 $∣ x_{1} - x_{2} ∣$ 。 $x_{2}$ 在 $0$ 和 $x_{1}$ 之间时，面积相加；在外面时，面积相减。两种情况 $△ O A B$ 的面积都等于 $\frac{1}{2} ∣ B D ∣ \cdot ∣ x_{1} ∣ = \frac{1}{2} ∣ x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} ∣$ 。 $x_{1} = 0$ 时 $O A$ 在 $y$ 轴上，底 $∣ y_{1} ∣$ ，高 $∣ x_{2} ∣$ ，也符合这个公式。

算一个小例子

$A (3, 1), B (1, 2)$ ： $\frac{1}{2} ∣3 \cdot 2 - 1 \cdot 1∣ = \frac{5}{2}$ 。检查：把三角形放进宽 $3$ 、高 $2$ 的矩形，面积 $6$ 减去周围 $3$ 个直角三角形 $\frac{3}{2}, 1, 1$ ，也得 $\frac{5}{2}$ 。绝对值里的式子 $x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1}$ 叫这两个向量的行列式。它的正负只表示方向顺序，所以要加绝对值。它等于 $0$ 时三点共线，不构成三角形。

顶点不是原点：从同一顶点作差

$3$ 个顶点 $P, Q, R$ ，先算 $PQ$ 和 $PR$ 的坐标，再用公式。平移不改变面积，所以这样做相当于把 $P$ 移到原点。

直线交曲线：面积变成根差

直线 $y = k x + m$ 上的两点 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ 代入， $x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} = x_{1} (k x_{2} + m) - x_{2} (k x_{1} + m) = m (x_{1} - x_{2})$ ，乘积项消掉了。所以 $△ O A B$ 的面积是 $\frac{1}{2} ∣ m ∣∣ x_{1} - x_{2} ∣$ 。根差用根的和与积表示： $(x_{1} - x_{2})^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 4 x_{1} x_{2}$ ，不需要解出两个根。

先看一道例题

例 1：从面积反求坐标

已知 $A (1, 2)$ ， $B (4, 3)$ ， $C (2, t)$ ， $△ A BC$ 的面积是 $4$ 。求 $t$ 。

怎么看出来：

有 $3$ 个点的坐标，用行列式。绝对值说明可能有 $2$ 个答案。

解：

$A B = (3, 1)$ ， $A C = (1, t - 2)$ 。行列式是 $3 (t - 2) - 1 \cdot 1 = 3 t - 7$ 。面积 $\frac{1}{2} ∣3 t - 7∣ = 4$ ，所以 $∣3 t - 7∣ = 8$ ，得 $3 t - 7 = 8$ 或 $3 t - 7 = - 8$ ，即 $t = 5$ 或 $t = - \frac{1}{3}$ 。两个值都使行列式不为 $0$ ，三点不共线。行列式为 $0$ 对应 $t = \frac{7}{3}$ ，此时三点共线，面积是 $0$ ，不是答案。检查： $t = 5$ 时 $A C = (1, 3)$ ， $\frac{1}{2} ∣9 - 1∣ = 4$ ； $t = - \frac{1}{3}$ 时 $A C = (1, - \frac{7}{3})$ ， $\frac{1}{2} ∣ - 7 - 1∣ = 4$ 。

答案：

$t = 5$ 或 $t = - \frac{1}{3}$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
知道 $3$ 个点的坐标或坐标含参数，要求面积	从一个顶点作差，用 $\frac{1}{2} ∣ x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} ∣$
原点和非竖直直线与曲线的 $2$ 个交点构成三角形	代入 $y = k x + m$ ，行列式化成 $m (x_{1} - x_{2})$ ，用根差；竖直线直接用原行列式
边长要开方，算起来很繁	不算边长，直接用行列式
同一组线性式把几个点一起变换，问面积	算变换的 $p s - q r$ ，面积按倍数变（见进阶“线性变换与面积”）
从一点作抛物线的 $2$ 条切线，问切点三角形的面积	设切点参数，用 $t_{1} + t_{2}$ 、 $t_{1} t_{2}$ 表示根差（见进阶“切线与根差”）
面积里的参数有范围，或有两个动点	先写范围，先固定一个点（见进阶“参数范围与最值”）

三、怎么用

选一个顶点，写出另外两点到它的向量。例如 $A (1, 1), B (4, 2), C (2, 5)$ ，选 $A$ ： $A B = (3, 1)$ ， $A C = (1, 4)$ 。
计算行列式 $x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1}$ 。这里 $3 \cdot 4 - 1 \cdot 1 = 11$ 。如果坐标含根，先把乘积项消掉，再整体代入根的和、积。
取绝对值的一半。面积是 $\frac{1}{2} \cdot 11 = \frac{11}{2}$ 。
确认三点互异、行列式不为 $0$ ，参数确实能取到。这里行列式是 $11 \neq = 0$ ，三点不共线。

四、再做一道

例 2：面积变成根差

直线 $y = k x + 1$ 交抛物线 $y = x^{2}$ 于 $A, B$ 。求 $△ O A B$ 面积的最小值，其中 $O$ 是原点。

怎么看出来：

两个交点的坐标含根式，不必解。代入直线后行列式只剩 $x_{1} - x_{2}$ ，再用根的和与积。

解：

联立得 $x^{2} - k x - 1 = 0$ ，判别式 $k^{2} + 4 > 0$ ，任何 $k$ 都有 $2$ 个不同的交点，所以 $k$ 可以取全体实数。根的和是 $k$ ，根的积是 $- 1$ 。行列式： $x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} = x_{1} (k x_{2} + 1) - x_{2} (k x_{1} + 1) = x_{1} - x_{2}$ 。直线的截距是 $1$ ，不过原点，所以 $3$ 点不共线。面积是 $\frac{1}{2} ∣ x_{1} - x_{2} ∣$ ，而 $(x_{1} - x_{2})^{2} = k^{2} - 4 (- 1) = k^{2} + 4$ ，所以面积 $= \frac{1}{2} k^{2} + 4 \geq \frac{1}{2} 4 = 1$ ， $k = 0$ 时取等。检查： $k = 0$ 时 $A (- 1, 1)$ ， $B (1, 1)$ ，底 $2$ ，高 $1$ ，面积 $1$ 。

答案：

最小值是 $1$ 。

五、容易错在哪

公式里有绝对值和 $\frac{1}{2}$ ，漏掉任何一个结果都错。行列式是负数时面积仍是正数。
$3$ 个点都按同一变换走，才能用面积倍数。只变一个点时不能套。
行列式绝对值为 $1$ 只说明面积不变，长度和角度可能都变了。
求最值前先确定参数范围：判别式、交点所在的部分、三点不共线。范围没定时求出的最值可能取不到。
行列式为 $0$ 时三点共线，面积为 $0$ 不是三角形。求最小值时要看 $0$ 能否取到。

进阶：线性变换与面积 · 先修：多项式展开

线性变换：所有点一起变，面积按比例变

变换 $x^{'} = p x + q y$ ， $y^{'} = r x + sy$ 把向量也按同样的式子变换。展开可得新行列式等于 $(p s - q r)$ 乘旧行列式。所以 $3$ 个顶点都做这个变换时，面积变成 $∣ p s - q r ∣$ 倍。这要求 $3$ 个点都变，只变一个不能用。 $∣ p s - q r ∣ = 1$ 只保证面积不变，长度可能变： $x^{'} = x + y, y^{'} = y$ 保面积，但 $(0, 1)$ 长度 $1$ ，变成 $(1, 1)$ 长度 $2$ 。又如 $x^{'} = λ x, y^{'} = \frac{1}{λ} y$ （ $λ > 0$ ）也不改变面积。初始面积仍然要单独算。

例 3：从面积倍数反求系数

变换 $x^{'} = s x + y, y^{'} = x + 2 y$ 把 $A (0, 0), B (1, 0), C (0, 1)$ 变成 $A^{'}, B^{'}, C^{'}$ ， $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 的面积是 $△ A BC$ 的 $3$ 倍。求 $s$ 。如果只变 $B$ ， $A, C$ 不动， $s = 2$ 时面积还是 $3$ 倍吗？

怎么看出来：

$3$ 个顶点都做同一个线性变换，面积倍数是 $∣ p s - q r ∣$ 。这里 $p = s, q = 1, r = 1$ ，第 $4$ 个系数是 $2$ 。第 $2$ 问只变一个点，不能套倍数，要直接算。

解：

面积倍数是 $∣ s \cdot 2 - 1 \cdot 1∣ = ∣2 s - 1∣$ 。令它等于 $3$ ： $2 s - 1 = 3$ 或 $2 s - 1 = - 3$ ，得 $s = 2$ 或 $s = - 1$ 。检查：原面积是 $\frac{1}{2}$ 。 $s = 2$ 时 $B^{'} (2, 1), C^{'} (1, 2)$ ， $A^{'}$ 仍是原点，行列式 $2 \cdot 2 - 1 \cdot 1 = 3$ ，面积 $\frac{3}{2}$ 。 $s = - 1$ 时 $B^{'} (- 1, 1), C^{'} (1, 2)$ ，行列式 $- 2 - 1 = - 3$ ，面积 $\frac{3}{2}$ 。第 $2$ 问： $s = 2$ 时 $B^{'} (2, 1)$ ， $C (0, 1)$ 不动，行列式 $2 \cdot 1 - 0 \cdot 1 = 2$ ，面积是 $1$ ，只是原来的 $2$ 倍，不是 $3$ 倍。

答案：

$s = 2$ 或 $s = - 1$ ；只变 $B$ 时面积是 $2$ 倍，不是 $3$ 倍。

进阶：切线与根差 · 先修：一元二次方程判别式

切线：切点参数的根差

$y = x^{2}$ 在点 $(t, t^{2})$ 的切线是 $y = 2 t x - t^{2}$ ：设斜率 $s$ ，直线 $y - t^{2} = s (x - t)$ 与抛物线联立得 $x^{2} - s x + s t - t^{2} = 0$ ，只有一个解要判别式为 $0$ ，即 $s^{2} - 4 s t + 4 t^{2} = (s - 2 t)^{2} = 0$ ，所以 $s = 2 t$ 。从点 $M (h, k)$ 作切线，代入得 $t^{2} - 2 h t + k = 0$ 。要有 $2$ 条切线，就要 $h^{2} > k$ ；这时两个切点参数满足 $t_{1} + t_{2} = 2 h$ ， $t_{1} t_{2} = k$ 。

例 4：两条切线垂直时的面积

从点 $M$ 作抛物线 $y = x^{2}$ 的两条切线，切点为 $T_{1}, T_{2}$ ，且两条切线互相垂直。求 $△ M T_{1} T_{2}$ 面积的最小值。

怎么看出来：

切点参数是一个方程的两根，面积能写成根差。垂直条件给出两根之积，把 $M$ 的范围定下来。

解：

设切点参数是 $t_{1}, t_{2}$ ，切线斜率是 $2 t_{1}, 2 t_{2}$ 。两条切线联立解得交点 $M (\frac{t _{1} + t _{2}}{2}, t_{1} t_{2})$ 。垂直要求 $2 t_{1} \cdot 2 t_{2} = - 1$ ，所以 $t_{1} t_{2} = - \frac{1}{4}$ 。记 $M$ 的横坐标 $h = \frac{t _{1} + t _{2}}{2}$ ，它可以取任意实数： $t^{2} - 2 h t - \frac{1}{4} = 0$ 的判别式 $4 h^{2} + 1 > 0$ ，总有 $2$ 个不同的 $t$ 。记 $d = t_{1} - t_{2}$ 。 $M T_{1} = (\frac{d}{2}, t_{1} d)$ ， $M T_{2} = (- \frac{d}{2}, - t_{2} d)$ 。行列式是 $\frac{d}{2} (- t_{2} d) + \frac{d}{2} t_{1} d = \frac{d ^{3}}{2}$ ，所以面积是 $\frac{1}{4} ∣ d ∣^{3}$ 。而 $d^{2} = (t_{1} + t_{2})^{2} - 4 t_{1} t_{2} = 4 h^{2} + 1 \geq 1$ ，所以 $∣ d ∣ \geq 1$ ，面积至少是 $\frac{1}{4}$ ， $h = 0$ 时取到。检查： $h = 0$ 时 $t = \pm \frac{1}{2}$ ， $T_{1} (\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$ ， $T_{2} (- \frac{1}{2}, \frac{1}{4})$ ， $M (0, - \frac{1}{4})$ ，底 $1$ ，高 $\frac{1}{2}$ ，面积 $\frac{1}{4}$ 。

答案：

最小值是 $\frac{1}{4}$ 。

进阶：参数范围与最值 · 先修：配方

先写范围，再求最值

面积写成参数后，参数不能随便取：直线要真的交曲线于两点，交点要在指定的部分，三点不能共线。要先解出这些条件，再求最值。例如直线交双曲线的左右两支，横坐标一负一正，要求联立后两根之积为负。有两个动点时，可以先固定一个，这时不取绝对值的行列式是另一个点坐标的一次式，面积是它的绝对值，所以要注意它的正负。例如 $A (1, 2)$ 固定， $B (u, v)$ 在 $u^{2} + v^{2} = 1$ 上，面积是 $\frac{1}{2} ∣ v - 2 u ∣$ 。由 $5 (u^{2} + v^{2}) - (v - 2 u)^{2} = (2 v + u)^{2} \geq 0$ ，得 $∣ v - 2 u ∣ \leq 5$ ，等号在 $u = - \frac{2}{5}, v = \frac{1}{5}$ 时取到。

例 5：参数范围决定有没有最大值

直线 $y = x + m$ （ $m < 0$ ）交抛物线 $y = x^{2}$ 于 $A, B$ 。求 $△ O A B$ 面积的最大值。

怎么看出来：

先定 $m$ 的范围。若没有 $m < 0$ 这个条件， $m$ 增大时面积没有上界，所以范围决定了答案。

解：

联立得 $x^{2} - x - m = 0$ ，判别式 $1 + 4 m > 0$ ，所以 $- \frac{1}{4} < m < 0$ 。行列式是 $m (x_{1} - x_{2})$ ， $(x_{1} - x_{2})^{2} = 1 + 4 m$ ，面积 $S = \frac{1}{2} ∣ m ∣ 1 + 4 m$ 。令 $s = - m$ ，则 $0 < s < \frac{1}{4}$ ， $S^{2} = \frac{1}{4} s^{2} (1 - 4 s)$ 。 $2 s, 2 s, 1 - 4 s$ 都是正数，和为 $1$ ，由三元均值不等式，它们的积不超过 $(\frac{1}{3})^{3}$ ，即 $4 s^{2} (1 - 4 s) \leq \frac{1}{27}$ 。所以 $S^{2} \leq \frac{1}{16} \cdot \frac{1}{27} = \frac{1}{432}$ ， $S \leq \frac{3}{36}$ 。等号要求 $2 s = 1 - 4 s$ ，即 $s = \frac{1}{6}$ ，在范围内。检查： $m = - \frac{1}{6}$ 时 $1 + 4 m = \frac{1}{3}$ ， $S = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3} = \frac{3}{36}$ 。 $m = 0$ 时直线过原点，面积为 $0$ ，不构成三角形。

答案：

最大值是 $\frac{3}{36}$ 。

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选共同几何参数刻画整族对象

用同一个几何参数表示整族对象，核每个参数都能构成合法对象。

完整讲解 · 例题 · 可练 9 题

一、是什么

先认识这些量

与横轴相切且位于上方的圆，圆心可设 $(h, r)$ ，其中 $r > 0$ 。圆经过定点的条件是圆心距平方等于 $r^{2}$ 。

为什么这样做

相切条件已经被坐标形式吸收，剩下经过点的方程可消去半径。得到参数关系后须检验半径始终正。

先看一道例题

例 1：圆族参数

所有位于横轴上方、与横轴相切且过 $(0, 2)$ 的圆，如何用圆心横坐标 $h$ 表示？

怎么看出来：

圆心纵坐标等于半径。

解：

$h^{2} + (r - 2)^{2} = r^{2}$ 得 $r = 1 + h^{2} /4 > 0$ 。每个实 $h$ 都给合法圆心 $(h, 1 + h^{2} /4)$ 。

答案：

$r = 1 + h^{2} /4$ ， $h$ 任意实数。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
中点轨迹、圆心受限的圆族，或多个圆、切点共享一个几何量。	用同一个几何参数表示整族对象，核每个参数都能构成合法对象。
所有位于横轴上方、与横轴相切且过 $(0, 2)$ 的圆，如何用圆心横坐标 $h$ 表示？	圆心纵坐标等于半径。

三、怎么用

沿共同轴或切线建系。
选一个共同几何参数。
代入全部条件消元。
反构造整族，核正半径和不同对象。

四、再做一道

例 2：固定半径

上述圆族中，半径为 $2$ 的有几个？圆心在哪里？

怎么看出来：

在整族参数关系中加半径条件。

解：

$2 = 1 + h^{2} /4$ ，故 $h = \pm 2$ ，两圆心为 $(2, 2), (- 2, 2)$ ，都合法。

答案：

$2$ 个，圆心 $(\pm 2, 2)$ 。

五、容易错在哪

等距方程求出参数后，还必须检查半径正性和原相切方向。

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消去一层变量后核可行最值

每次放缩后都记录等号条件，最后确认它们能在同一构型中实现。

完整讲解 · 例题 · 可练 9 题

一、是什么

先认识这些量

可行点满足全部原约束。非负 $u, v$ 满足 $2 uv \leq u^{2} + v^{2}$ ，等号仅在 $u = v$ ；换变量时必须保留对应范围。

为什么这样做

先缩放椭圆半轴可把约束写成单位圆，但目标仍按原坐标恢复，等号才能正确落回原图。

先看一道例题

例 1：圆上乘积

$x, y \geq 0, x^{2} + y^{2} = 1$ ，求 $x y$ 最大值。

怎么看出来：

非负变量可用平方差。

解：

$2 x y \leq x^{2} + y^{2} = 1$ ，在 $x = y = 1/ 2$ 取等，最大 $1/2$ 。

答案：

$1/2$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
距离乘积、两个独立动点、接触参数或共焦曲线的指标能降为一个非负或有界变量。	每次放缩后都记录等号条件，最后确认它们能在同一构型中实现。
$x, y \geq 0, x^{2} + y^{2} = 1$ ，求 $x y$ 最大值。	非负变量可用平方差。

三、怎么用

选非负平方量或比例变量。
消去一层约束并求界。
汇总各次等号条件。
重建原构型核所有条件。

四、再做一道

例 2：椭圆内接矩形

轴平行矩形四顶点 $(\pm x, \pm y)$ 在 $x^{2} /4 + y^{2} = 1$ 上，求最大面积。

怎么看出来：

令横坐标除以二化为单位圆。

解：

设 $u = x /2, v = y$ ，有 $u^{2} + v^{2} = 1$ ，面积 $4 x y = 8 uv \leq 4$ 。 $u = v = 1/ 2$ 时 $x = 2, y = 1/ 2$ ，可实现。

答案：

$4$ 。

五、容易错在哪

多个独立估计各自能取等，不代表它们能同时在原几何构型中取等。

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误区对照

容易误以为

直线 $y = k x + 2$ 与椭圆 $\frac{x ^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 交于 $A, B$ ，由韦达定理中点横坐标为 $x_{0} = - \frac{8 k}{1 + 4 k ^{2}}$ ，对一切实数 $k$ 取值，所以 $x_{0} \in [- 2, 2]$ 。

应当这样想

联立得 $(1 + 4 k^{2}) x^{2} + 16 k x + 12 = 0$ ，有两个交点要求判别式 $64 k^{2} - 48 > 0$ ，即 $∣ k ∣ > \frac{3}{2}$ 。 $\frac{8∣ k ∣}{1 + 4 k ^{2}}$ 在 $∣ k ∣ > \frac{1}{2}$ 上递减， $∣ k ∣ \to \frac{3}{2}$ 时趋于 $3$ ， $∣ k ∣ \to \infty$ 时趋于 $0$ 。所以 $x_{0} \in (- 3, 0) \cup (0, 3)$ 。

为什么

韦达定理只在两根真实存在时才描述交点；求范围前先用判别式锁定参数的可行域。

容易误以为

单位圆上的点都可以写成 $(\frac{1 - t ^{2}}{1 + t ^{2}}, \frac{2 t}{1 + t ^{2}})$ （ $t \in R$ ），所以圆上点横坐标的取值范围是 $(- 1, 1]$ 。

应当这样想

该参数化取不到点 $(- 1, 0)$ ：横坐标 $\frac{1 - t ^{2}}{1 + t ^{2}} > - 1$ 对一切实数 $t$ 成立， $(- 1, 0)$ 只对应 $t \to \infty$ 。圆上横坐标的真实范围是 $[- 1, 1]$ 。

为什么

有理参数化来自过 $(- 1, 0)$ 的割线，这一点本身被漏掉；用参数求最值前要核对参数是否覆盖全部所需的点。

概念自测

先想清楚，再确认判断。这些自测只帮助辨清概念，不计入真题做对率。

真题 · 64 道

从易到难排列。圆点表示你在这台设备上的做题情况：绿色做对、黄色部分做对、红色没做出。