2014 年中科大少年班初试 · 第 5 题

解答

设 $M=(u,v)$。圆的两个切点都满足 $ux+vy=b^2$，因此切点弦 $PQ$ 就是这条直线。题述两轴交点与三角形有定义时 $uv\ne 0$，所以 $E=(b^2/u,0),F=(0,b^2/v)$，面积为 $b^4/(2|uv|)$。写 $u=a\cos \theta ,v=b\sin \theta$，有 $|uv|\le ab/2$，故面积不小于 $b^3/a$。取 $|u|=a/\sqrt{2},|v|=b/\sqrt{2}$ 时取等，得到 $\boxed{S_{\min }=b^3/a}$。