2018 年黑龙江预赛 · 第 12 题

解答

线性段在 $x\le 1$ 上值域为 $(-\infty ,2]$，对数段在 $x>1$ 上值域为 $(0,+\infty )$，且各段均严格递增。 故 $m<n$ 且同值时必有 $m\le 1<n$。设共同值为 $s$，则

于是

其导数 $h^{\prime }(s)=e^s-2$，故在 $s=\ln 2$ 处取得最小值

函数在 $[\ln 2,2]$ 上连续递增，至右端值 $h(2)=e^2-1$；左侧 $(0,\ln 2)$ 上的值介于该最小值与极限 $h(0^{+})=4$ 之间，不会产生更大上界。 因此完整范围为

选 $\boxed{\mathrm{C}}$。