一试训练题

解答

定义域 $[-1,1]$。令 $t=\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}$，则 $t\ge 0$，$t^2=2+2\sqrt{1-x^2}\in [2,4]$，所以 $t\in [\sqrt{2},2]$，且 $2\sqrt{1-x^2}+3=t^2+1$。于是 $f=g(t)=(t-3)(t^2+1)=t^3-3t^2+t-3$。$g^{\prime }(t)=3t^2-6t+1$，在 $[\sqrt{2},2]$ 内的零点为 $t_0=1+\frac{\sqrt{6}}{3}\approx 1.816$；$g^{\prime }<0$ 于 $[\sqrt{2},t_0)$，$g^{\prime }>0$ 于 $(t_0,2]$，所以最小值为 $g(t_0)$。由 $t_0^2=\frac{5+2\sqrt{6}}{3}$ 得 $t_0^2+1=\frac{8+2\sqrt{6}}{3}$，$t_0-3=\frac{\sqrt{6}-6}{3}$，故 $g(t_0)=\frac{(\sqrt{6}-6)(8+2\sqrt{6})}{9}=\frac{-36-4\sqrt{6}}{9}$。所以最小值为 $\boxed{-\frac{36+4\sqrt{6}}{9}}$。