2023 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 11 题

解答

先证必要性。 若 $t>2$，取 $a=b=t$，则任意 $c,d\in [-1,t]$ 都满足

不符合要求。 若 $1\le t<3/2$，取 $a=-1$，$b=2-t$，两者都在 $[-1,t]$ 内。对任意允许的 $c,d$，

若两因子同为非负数或同为非正数，其积都不超过 $2(t-1)<1$；若两因子异号，其积不大于零。因此同样不符合要求。必要条件为 $3/2\le t\le 2$。

下面设 $3/2\le t\le 2$，任取 $a,b\in [-1,t]$，记

先证明区间内存在 $x_0$ 使 $f(x_0)\le 1$。 若 $a\le 1$，则 $-a\in [-1,1]\subseteq [-1,t]$，可取 $x_0=-a$，此时 $f(x_0)=0$；若 $b\le 1$，同理取 $x_0=-b$。 剩下的情形为 $a,b>1$，此时

再证明区间内存在 $x_1$ 使 $f(x_1)\ge 1$。 若 $f(-1)\ge 1$，取 $x_1=-1$ 即可。否则，令 $s=a+b$，由

知 $ab<s$。另一方面，$(a+1)(b+1)\ge 0$，所以 $ab\ge -s-1$。 两式合并得 $s>-1/2$，从而

而 $3/2\in [-1,t]$，故可取 $x_1=3/2$。

函数 $f$ 在 $[-1,t]$ 上连续。由介值定理，$x_0$ 与 $x_1$ 之间存在 $x$ 使 $f(x)=1$。令 $c=d=x$，即满足全部要求。 综上，所求实数为