培玉 · 一试
2010 年陕西预赛 · 第 3 题
F2填空题平面几何综合
将四个全等的直角三角形可以拼成如图①所示的正方形（弦图），还可以拼成如图②所示的菱形。若图①中大正方形的面积为 ，小正方形的面积为 ，则图②中菱形的一个锐角的余弦值为
。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
先从两图辨认同一对直角边。
思路
在弦图中，大正方形的边是斜边；四个三角形面积之和等于大小正方形面积之差。在菱形中，两直角边成为半对角线。
解答
设每个直角三角形的两直角边为 ，斜边为 。由图1，，并且四块三角形总面积为 ，所以
由此 、，得 。图2中菱形的两条对角线互相垂直且平分，半对角线长分别为8、6。设菱形锐角为 ，其半角满足 ，故
复核
可将菱形四顶点取为 。每边长10，锐角顶点出发的两边向量为 ，点积28、模长乘积100，余弦为7/25。弦图四块面积为4×24=96，与小正方形4合成100。
方法总结
拼图题先从面积确定直角边乘积，再用斜边确定平方和。菱形角度宜在半对角线组成的直角三角形中计算。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
先从真实拼图辨认斜边与半对角线，面积差给直角边乘积，平方和再定两边；最后用半角或向量求菱形锐角。
已记下，谢谢！