2024 年福建预赛

解答

设 $n$ 的不同素因子为

对 $1\le j<r$，令 $D_j$ 为小于 $p_{j+1}$ 的最大正因数。则 $D_j$ 的后一个因数正是 $p_{j+1}$。又因 $D_j<p_{j+1}$，$D_j$ 的素因子都小于 $p_{j+1}$，所以 $\gcd (D_j,p_{j+1})=1$。若 $E_j$ 是 $D_j$ 的前一个因数，而 $D_j\mid E_j{p}_{j+1}$，便会推出 $D_j\mid E_j$，与 $E_j<D_j$ 矛盾。因此 $D_1,\dots ,D_{r-1}$ 是 $r-1$ 个互不相同的好因数。以下把这一结论记为（1）。

下面证明当 $r\ge 3$ 时还至少有一个好因数。记

这里 $s\ge 1$，且小于 $q$ 的因数只有 $1,p,\dots ,p^s$。 若 $P$ 本身是好因数，结论已经成立。以下设 $P$ 不是好因数。

因 $P$ 的前一个因数不含素因子 $P$，要使 $P$ 整除前后两个因数之积，$P$ 的后一个因数必须含 $P$。 大于 $P$ 的最小 $P$ 倍因数是 $pP$，所以 $P,pP$ 在因数序列中相邻。我们断言 $xP$ 是好因数。 设 $U,V$ 分别是 $xP$ 的前、后一个因数，反设 $xP\mid UV$。由于 $P\mid UV$，分两种情形。

若 $P\mid V$，则因 $q$ 是大于 $x$ 的最小因数，必有 $V=qP$。于是 $x\mid Uq$，而 $\gcd (x,q)=1$，故 $U=xw$，其中 $w<P$。因 $pw\mid U\mid n$， 并且 $P,pP$ 相邻，$pw$ 不可能严格落在二者之间；又 $pw=P$ 不可能，故 $pw<P$。 从而

但 $(x/p)P$ 是一个小于 $xP$ 的因数，这与 $U$ 是其前一个因数矛盾。

若 $P\mid U$，则小于 $x$ 的最大因数为 $x/p$，故

由 $xP\mid UV$ 得 $p\mid V$。若还成立 $P\mid V$，则 $V$ 只能是 $qP$，但 $p\nmid qP$，矛盾；所以 $P\nmid V$。写 $V=pw$，则 $w$ 也是 $n$ 的因数，并且

在因数序列中，$U,xP,V$ 三者相邻，故只能有 $w=xP$，这又会推出 $P\mid V$，仍矛盾。 两种情形都不可能，故 $xP\nmid UV$，即 $xP$ 是好因数。

由（1），当 $r\ge 3$ 时，好因数至少有 $r$ 个，因而 $n$ 不是好数。于是只需考虑 $r=1$ 或 $r=2$。

若 $r=1$，则 $n=p^{\alpha }(\alpha \ge 2)$。相邻三个因数 $p^{i-1},p^i,p^{i+1}$ 满足 $p^i\mid p^{i-1}{p}^{i+1}$，所以没有好因数； $0<1$，故所有素数幂 $p^{\alpha }(\alpha \ge 2)$ 都是好数。

若 $r=2$，写

设 $p^s<q<p^{s+1}$，其中当 $q>p^{\alpha }$ 时约定 $s=\alpha$。 前面的论证已说明 $p^s$ 是好因数。

当 $q<p^{\alpha }$ 时，$q$ 的前后两个因数分别是 $p^s,p^{s+1}$，它们的乘积不含素因子 $q$， 故 $q$ 也是好因数，此时不是好数。

当 $q>p^{\alpha }$ 且 $\beta \ge 2$ 时，因数 $p^{\alpha }q$ 的前后两个因数分别是 $p^{\alpha -1}q,q^2$，其乘积不被 $p^{\alpha }q$ 整除，所以除 $p^{\alpha }$ 外又有一个好因数， 此时也不是好数。

最后，当 $q>p^{\alpha }$ 且 $\beta =1$ 时，全部因数依次为

逐段检查可知，只有交界处的 $p^{\alpha }$ 是好因数，其余内部因数都整除相邻两因数之积。 此时恰有一个好因数，小于两个不同素因子的个数，所以是好数。

综上，所有好数恰为

以及

对第（1）问，$16=2^4$ 是好数。另一方面，

有三个不同素因子，故不是好数。直接列出其因数还能核得好因数为

共有七个。