2022 年中科大少年班初试 · 第 3 题

解答

记 $R_n={\sum }_{k=n+1}^{\infty }1/k^2$。原条件等价于 $R_n<1/2022$。对 $k\ge 2$，有 $1/[k(k+1)]<1/k^2<1/[k(k-1)]$。求尾和得 $1/(n+1)<R_n<1/n$。因此 $R_{2022}<1/2022$，而 $R_{2021}>1/2022$。尾和随 $n$ 严格递减，所以最小正整数是 $\boxed{2022}$。