2024 年广西预赛

思路

二次无理数的共轭根指把根式前的正号改负号；两根可组成整系数特征方程。线性递推的模周期由相邻两项构成的状态决定。

想法从哪来：递推里的取整看似阻断了线性方法，但它接近一个固定二次无理数倍数。先算出前两项，再把乘数与其共轭数放在一起：两根之和与积都是整数，可以猜到一个整系数二阶递推。猜出后关键不是多验几项，而是给出始终介于零和一之间的误差，使该二阶递推确实产生原取整。共轭根落在零和一之间，正好让初始误差逐次缩小。整数递推成立以后才取模十；周期应核对连续两项状态回到原点，不能因某个个位数再次出现就断定后面都重复。

用 $4+\sqrt{11}$ 的共轭数控制小数部分，把带取整的递推转成整系数线性递推。