2026 年内蒙古预赛

解答

取 $n=1$ 得 $a_1=0$。对 $n\ge 2$ 解递推可得

其中 $k=a_2-2\in \mathbb{Z}$。反过来，因为 $n(n-1)$ 总是偶数，任意整数 $k$ 给出的 (1) 确实是整数列并满足原递推。

由 (1)，

注意 $2026=2\cdot 1013$，$1013$ 为素数，且 $\gcd (506,1013)=1$。因此

对任意 $n$，由 (1)、(2) 得

所以 $1013\mid a_n$ 当且仅当

在 $n\ge 2$ 中，第一个可能值为 $n=1012$。此时 $1012k+4$ 是 $4$ 的倍数， 且又由上式含因子 $1013$，故

因此所求最小正整数为