2011 年湖北预赛 · 第 3 题

解答

两个至多含两元素的集合相等，必能按下列两种配对之一对应； 若集合只有一个元素，两种配对均不造成漏解。

1. 1.

   若 $\sin \alpha =\cos \alpha$ 且 $\cos 2\alpha =\sin 2\alpha$， 则 $\alpha =\pi /4+k\pi$，进而 $\cos 2\alpha =0,\sin 2\alpha =1$，矛盾。

2. 2.

   若 $\sin \alpha =\sin 2\alpha$ 且 $\cos 2\alpha =\cos \alpha$， 则分别等价于

   $$\sin \alpha (1-2\cos \alpha )=0,(2\cos \alpha +1)(\cos \alpha -1)=0.$$

   若 $\cos \alpha =-1/2$，则 $\sin \alpha \ne 0$，第一式又迫使 $\cos \alpha =1/2$，矛盾。 故只能 $\cos \alpha =1$，即 $\alpha =2k\pi$。

反之，$\alpha =2k\pi$ 时左右两集合均为 $\{0,1\}$，确实成立。 所以所求集合为 $\boxed{\{2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}}$。