2023 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 9 题

解答

交换 $A,B$ 的名称不影响问题，故可设点的次序为 $A,P,Q,B$。写成

因为

位于 $x$ 轴上，故 $v=-2u$，从而 $P=(2u^2,0)$。 焦点为 $F=(1,0)$，于是 $0\le 2u^2\le 1$。又 $A\ne B$，故 $u\ne 0$，得到

另一个三等分点为

故点 $Q=(x,y)$ 满足

反之，任取满足此方程及范围的 $(x,y)$，令 $u=-y/2$，$v=-2u$，并按前述参数式构造 $A,B$，则 $0<u^2\le 1/2$，$A\ne B$，且 $P=(2u^2,0)\in OF$，另一个三等分点正是 $(x,y)$。 因此轨迹方程为