培玉 · 一试
2011 年辽宁预赛 · 第 10 题
F2填空题函数的值域
函数 的最大值与最小值之和为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
用 统一表示两个部分。
思路
新变量只有一个闭区间限制，求单调性后可同时得到最大、最小值。
解答
令 。由 ，
其导数为
因为 。 所以
两者之和为
复核
与 分别可由 与 取得，故这两个端点都是真正的最值。根式在新变量全区间为正，没有因求导额外删点。
方法总结
三角函数值域题先将相关三角量用恒等式统一成一个变量，并保留该变量的精确可达范围，再讨论单调性。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
令t=sin x∈[-1,1]，换元后用导数证明t+sqrt(3-t²)严格递增，端点即sqrt2±1。
已记下，谢谢！