2023 年浙江预赛

解答

取单位正交基使 $\vec{a}=(10,0),\vec{b}=(0,5)$。同时将两向量除以正数5不改变夹角，于是只需比较

两向量均非零，且

其中分子可写成 $25(t-7/25{)}^2+76/25$。所以夹角 $\phi$ 在 $[0,\pi /2)$ 内，可比较其正切：

右端导数为

它在 $[0,1/5]$ 上递增，在 $[1/5,1]$ 上递减，故最大值为 $1/2$。于是最大夹角 $\theta$ 满足