2012 年中科大少年班初试 · 第 7 题

解答

由 $AH\perp$ 面 $SBC$，且 $BH\perp SC,CH\perp SB$，可得 $AB\perp SC,AC\perp SB$。设底边长 $a$，取 $A=(0,0,0),B=(a,0,0),C=(a/2,\sqrt{3}a/2,0)$。上述两垂直条件给 $S=(a/2,\sqrt{3}a/6,h)$，可取 $h>0$。由 $SA=2$ 有 $a^2/3+h^2=4$。面 $SBC$ 的法向可取 $n=(\sqrt{3}ah/2,ah/2,\sqrt{3}{a}^2/6)$，垂足 $H$ 沿从 $A$ 出发的 $n$ 正方向，故 $H_y,H_z>0$。棱 $AB$ 为横轴，面 $ABC$ 的指定半平面朝正纵向，所以 $\tan \angle (H-AB-C)=H_z/H_y=a/(\sqrt{3}h)$。题给三十度，得 $a=h$，再得 $a^2=3$。故 $\boxed{V=(\sqrt{3}{a}^2/4)h/3=3/4}$，选 D。