2023 年贵州预赛

解答

取 $A=(0,0)$，令 $\theta =A/2$，$u=\cos \theta >0,v=\sin \theta >0$，并记 $r=AB,t=AC,p=r+t$。则

设 $a=BC$。内心横坐标为 $i=2rtu/(a+p)$，而 $a^2=p^2-4rt{u}^2$，故 $i=(p-a)/(2u)$，满足

逐一代入 $B,C,I$，可知圆 $\Gamma =(BIC)$ 的方程为

于是 $M$ 对该圆的幂为 $m^2-(p/u)m+rt=m^2$。

令 $L=|B-M{|}^2>0$。将 $MB$ 上的点写成 $X(\tau )=M+\tau (B-M)$；圆方程关于 $\tau$ 的一个根为 $1$，由根积知另一个根为 $m^2/L$，故 $E=X(m^2/L)$。设

利用 $u^2+v^2=1$ 及 $m=rtu/p$，直接展开得恒等式

因此 ${\Phi }_C(E)=0$，即 $E$ 位于以 $AC$ 为直径的圆上，所以 $AE\perp EC$。交换 $B,C$ 及 $r,t$，同理得到 $F$ 位于以 $AB$ 为直径的圆上，所以

最后考虑圆 $\Gamma$、直径圆 ${\Omega }_C=(ACE)$、直径圆 ${\Omega }_B=(ABF)$。前两圆的根轴为 $CE$，第一、第三圆的根轴为 $BF$。它们的交点 $H$ 因而也在 ${\Omega }_C,{\Omega }_B$ 的根轴上。两直径圆的方程分别为

相减得 $(B-C)\cdot X=0$，这条根轴经过 $A$ 并垂直于 $BC$。故