2025 年福建预赛

思路

局部极小值只要求附近更大，不要求全域更大。恒成立参数在除以正指数后，等于寻找右端函数的下确界；若换元值域不完整，扩大范围求得的界可能失去必要性。

想法从哪来：第一问说的是极小值，函数在无穷远还可能继续下降，因此先用导数符号区分局部极小与全局最小。对数临界点不必显式求出，只需定位在半这个数的左侧；将导数为零的等式代回原函数，难处理的对数就能消掉，剩下的二次式可直接配方求严格界。 第二问把指数项除到另一侧以后，注意剩下的“对数减变量”和“变量乘负指数”其实由同一个组合决定。选指数除以变量作新自变量，两部分同时简化，恒成立问题降成一个单变量分式的下确界。换元不应只写一个范围包含关系，还需证明完整值域，尤其临界最小点确能由原变量取得，才能保留最佳参数端点。

函数定义域为 $x>0$。第一问先由 $f^{\prime }$ 的单调性定位产生极小值的临界点， 再用临界点方程消去对数。第二问将恒成立条件除以 $x{e}^x$，换元 $t=e^x/x$ 后，右端只依赖 $t$，并且 $t$ 的值域容易确定。