垫脚石（此题 → 相关题） 2015 年湖北预赛 第 8 题 · P010119
先练习互补根式之和的准确范围，再把这个和作为新变量处理更复杂的乘积。平方后的交叉项把另一根式表达出来，因此原本多个根式能由同一个参数控制；端点可达性必须随换元保留。
前题直接求根式和的范围，后题还须把剩余因子也改写成该和的函数，再判断新函数的单调性。
培玉 · 一试
2024 年江苏预赛
F2填空题函数的值域
函数 的值域为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
两个根号内的量非负且和固定，用平方与柯西不等式同时确定两端。
解答
定义域为 。令 ，则 且 。于是
由 ，得
函数在定义域上连续，且两个端值分别在 （或 ）与 取得，故值域为
复核
最小值不能误取为 ，因为两个根号内的量之和恒为 。
方法总结
两个非负量之和固定时，根式和的平方只需控制它们的乘积。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
根号内两量和固定为20，平方后只需求乘积范围，并说明两端及中间值均可取。
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