2017 年河南预赛 · 第 11 题

解答

由 $a_0=1/2$ 及递推，各项均正，且

故 $\boxed{\text{第(1)问成立}}$。 $a_1=3/4<1$。若 $n\ge 2$ 且 $a_{n-1}<n-1$，则

归纳得 $\boxed{a_n<n(n\ge 1)}$。 又对 $k\ge 2$，$a_{k-1}<k-1$，所以

当 $n\ge 2$ 时累加，并用 $1/a_1=4/3$，得到

$n=1$ 时为等号，故 $\boxed{1/a_n\le 5/6+1/(n+1)(n\ge 1)}$。