垫脚石（相关题 → 此题） 2024 年四川预赛 · P006594
先把纯等比权的长和改成只含首尾的精确式，再处理多项式乘等比权。后者要寻找一个合适的多项式尾项，使相邻尾项之差恰好等于原通项，并独核首项。
前题求和后还要检查素因子指数，后题的主要困难在设计可相消的尾多项式；只知道无穷和不能代替有限尾项。
培玉 · 一试
2026 年贵州预赛
F3填空题数列的和
已知数列 有通项公式 ，则数列 的前 项和 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
这是“多项式乘等比项”的求和。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
连续错位相减可以求得结果；为使公式更易复核，先根据 无穷和与尾项结构写出候选式，再用相邻两项之差验证。
解答
记
直接展开可得
于是
从 到 求和，注意 ，得到
故所求为
复核
当 时，右式为 ；相邻两个右式之差为 ，因此公式对所有正整数 成立。
方法总结
对 型数列，可寻找同次数多项式 ，把通项写成 ，求和后中间项全部消去。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
自行设三次R(n)使3R(n−1)−R(n)=8n³，将数列写成相邻项差，关键是同次数待定多项式的选择。
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