2010 年天津预赛 · 第 10 题

解答

记 $s=x_1+x_2$。由 $x_1{x}_2=1$，两数均非零，并且对 $j=1,2$ 有 $x_j^2-s{x}_j+1=0$。逐项乘幂、相加，得到

取 $n=0$，因 $a_1\ne 0$，便有

这证明了第（1）问。若 $x_1,x_2$ 均非实数，则它们是实系数方程 $T^2-sT+1=0$ 的两根，所以 $x_2={\bar{x}}_1$。又 $a_1=\alpha x_1+\beta {\bar{x}}_1$ 为有理数，特别是实数。由于 $\alpha ,\beta$ 为实数，取虚部得到

由 $\mathrm{Im}{x}_1\ne 0$，可得 $\boxed{\alpha =\beta }$，第（2）问得证。