2020 年中科大少年班初试 · 第 9 题

解答

设 $t=2\sin x-\cos x$。由于 $0\le x\le \pi /2$，有 $t^{\prime }(x)=2\cos x+\sin x>0$，且端值为 $-1,2$，所以 t 连续地取遍 $[-1,2]$。由 $t^2=3{\sin }^{2}x-2\sin 2x+1$，原式化为 $y=t^2+t-1=(t+1/2{)}^2-5/4$。顶点 $t=-1/2$ 位于该区间，故最小值为 $-5/4$；两个端点值为 $-1$ 和 $5$，最大值为 $5$。因此 $\boxed{y\in [-5/4,5]}$。