同一骨架 2022 年贵州预赛 · P006842
当题目控制平方和及全部两两乘积之和时，整体展开和的平方通常比逐个求变量更直接。向量情形可利用中心处的零和；对数换元后的标量情形则要保留开平方带来的全部合法符号。
前题几何对称性直接给出向量和为零；后题先取对数得到标量二次关系，最终总和的两种符号都可能还原为正的原变量。
培玉 · 一试
2022 年重庆预赛
常用对数指数方程的乘积
F3填空题幂指对
已知 均为正实数，且满足
则 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
令 ，两式分别控制平方和与两两乘积和。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
题设只要求 ，对数和允许正负两支，需把全部可实现的取值保留。
解答
两边取常用对数得
于是
即 或 。所以
两个分支都可实现。事实上，方程组
的判别式为正，存在实解 ；取 得到 ，取其相反数则得到 ，并且原来的两式仍成立。 因此全部可能值为
复核
将 同时变号不改变平方和及两两乘积和，却把 变为倒数，因此需要保留可实现的两个分支，不能只选择正号。
方法总结
指数与对数交叉出现时，先把变量改写成对数；若最终只得到某个量的平方，必须回到原定义检查正负两支是否都被允许。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
需取三数的对数把原乘幂条件变为平方和及交叉项，合并得和为正负1，并核两个符号分支都能实现，不能只取正平方根。
联系 · 1 条
已记下，谢谢！