易混 2023 年全国高中数学联赛一试（A 卷） 第 2 题 · P007098
变量同时出现在底数和对数指数时，先改用对数坐标，交叉幂就成为二次关系。之后是否需要把每个变量解出来，取决于目标：求解集要保留全部支，只求一个平方组合则可能直接消元。
前题统一为同底幂后必须解出二次方程的每个合法根并还原；后题题设已给乘积与平方和，目标正好是和的平方，无须求两个原变量。
培玉 · 一试
2025 年江苏预赛
F2填空题幂指对
方程
的解集为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
底数和真数都要求 ，令 可把幂指方程化为二次方程。
解答
令 ，则 ，且 。原方程等价于
故 ，从而 或 。于是 或 ，解集为 。
复核
均为正数，代回原式成立；二次方程只有这两个根，故无遗漏。
方法总结
遇到 同时出现在底数、指数和对数中的方程，先检查 ，再令 ，通常可把两边统一为同底幂。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
令u=log2x即把两边统一为同底幂，得到二次方程，再还原两个正根。
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