2011 年中科大少年班初试 · 第 14 题

解答

（1）记两焦半径 $r=P{F}_1,s=P{F}_2$，右支给 $r-s=2a$。面积为 $rs\sin 60^{\circ }/2=\sqrt{3}rs/4$，所以 $rs=12a^2$。余弦定理给 $4c^2=r^2+s^2-rs=(r-s{)}^2+rs=16a^2$，故 $\boxed{e=2}$。（2）按 $a$ 缩放，双曲线成为 $x^2-y^2/3=1$，$A=(-1,0),F_2=(2,0)$。对第一象限点 $Q=(x,y)$，设 $\alpha =\angle QA{F}_2,\beta =\angle Q{F}_{2}A$。有 $\tan \alpha =y/(x+1)$，因 $y^2=3(x^2-1)$，可得 $\cos 2\alpha =(2-x)/(2x-1)$。又右焦半径为 $2x-1$，所以 $\cos \beta$ 也等于该式。几何上 $0<2\alpha <2\pi /3$、$0<\beta <\pi$，故由余弦单射得到 $\boxed{\beta =2\alpha ,\lambda =2}$。