易混 2021 年上海预赛 · P007047
两题都限制三角形的整数边，但整数性所依附的几何结构不同。本原直角三角形需要互素且奇偶相反的标准参数；倍角三角形则先由边角关系得到边长恒等式，再检查整数候选及三角形条件。不能把“整数边”当作同一种参数模板。
直角且本原的约束与给定倍角关系的约束，分别决定了不同的参数化入口。
培玉 · 一试
2023 年江西预赛
F4解答题数论
如果直角三角形的三边是两两互素的正整数，则称这种直角三角形为本原直角三角形。
（1）求本原直角三角形中面积恰好等于周长 倍的本原直角三角形的个数，并记为 ；
（2）求 ，并列出所有面积恰好等于周长的 倍的本原直角三角形。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
先独立尝试，再展开工具说明与想法来源。
思路
本原勾股数组唯一参数为 ，u>v>0、互素且奇偶相反；由两平方差分解和互素性可推得。
想法从哪来：面积与周长的整数倍关系，先用本原勾股数组参数化会让大量因子约掉；得到的不是复杂四次式，而是两个互素因子的乘积。把其中奇因子单独记作d，既能反映参数一奇一偶，又使本原条件变为互素。计数时每个质数幂必须整体放到同一因子，否则互素被破坏；二的幂因d为奇数只能固定在另一边，奇质数幂才各有二选一。这解释计数由不同奇质因数的个数决定而与指数大小无关。求有限范围内最大值时，比较最小几个奇质数之积；列具体三角形则反向恢复两个参数，检查每组没有重复且满足原比值。
用本原勾股数组的标准参数化；面积与周长之比会约成两个互素因子的乘积的一半。
解答
本原直角三角形可唯一写成
其中 、，且 一奇一偶。其面积与周长之比为
令 ，则 为奇数，。因此所求条件等价于
设 ，其中 是互不相同的奇素数。 因 为奇数， 必须全部分配给 ；因 互素，每个奇素数幂 必须整体分配给 或 。故
若 含五个不同奇素因子，则 ，不可能；而 。所以
又 。把 与 分别整体分配给 或奇数 ，得到
相应的四个本原直角三角形（两直角边、斜边）为
复核
四组参数均满足 、 为奇数且 ；由参数化可知所得三边两两互素， 且面积与周长之比均为 。
方法总结
本原勾股数组的面积周长比会消去 与 ；剩下的互素因子分配把计数转化为奇素因子集合的二选一。
为什么评为 F4（会透露解法方向）
需先将面积周长比转成v(u-v)/2，并保持奇偶和互素条件；再按素数幂整体分配建立无重计数，利用最小奇素数积求全局最大并枚举2023对应三边。
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