2021 年全国高中数学联赛一试（B 卷） · 第 9 题

解答

$b_n=a_n+a_{n+1}+a_{n+2}$，所以 $b_{n+1}-b_n=a_{n+3}-a_n$。又 $b_1=1+1+1=3$，公比 $3$，$b_n=3^n$，于是 $a_{n+3}-a_n=3^{n+1}-3^n=2\cdot 3^n$。取 $n=3k-2$：$a_{3k+1}-a_{3k-2}=2\cdot 3^{3k-2}$。故 $a_{100}=a_1+{\sum }_{k=1}^{33}(a_{3k+1}-a_{3k-2})=1+{\sum }_{k=1}^{33}2\cdot 3^{3k-2}=1+6\cdot \frac{27^{33}-1}{26}=1+\frac{3(3^{99}-1)}{13}=\boxed{\frac{3^{100}+10}{13}}$。