2015 年黑龙江预赛 · 第 19 题

解答

点积为 $f(x)=\sqrt{3}\sin \omega x\cos \omega x-{\cos }^2\omega x=\sin (2\omega x-\pi /6)-1/2$，最小正周期为 $\pi /\omega$。故 $\boxed{\omega =2}$。又 $b^2=ac$ 给 $\cos x=(a/c+c/a-1)/2\ge 1/2$，非退化三角形的角 x 恰可取 $(0,\pi /3]$。所以相位 $u=4x-\pi /6\in (-\pi /6,7\pi /6]$。在此区间正弦先严格增加至一，再严格降至 $-1/2$；左端的 $-1/2$ 不包含，右端包含。因此 $\sin u=k+1/2$ 恰有两根当且仅当 $-1/2<k+1/2<1$，得到 $\boxed{-1<k<1/2}$。