2015 年黑龙江预赛 · 第 22 题

解答

（1）令 $u=\ln x>0$，则 $f^{\prime }(x)=(u-1)/u^2-a$。函数 $H(u)=(u-1)/u^2$ 的导数为 $(2-u)/u^3$，最大值为四分之一。因此递减参数为 $a\ge 1/4$，最小值 $\boxed{1/4}$。（2）右侧 $f^{\prime }(t)+a$ 在所给区间上最大为四分之一，于 $t=e^2$ 达到。存在条件因而等价于某个 $s$ 满足 $f(s)\le 1/4$，也即 $a\ge K(s)=1/\ln s-1/(4s)$。其导数 $[(\ln s{)}^2-4s]/[4s^2(\ln s{)}^2]<0$ 在 $[e,e^2]$ 成立，故最小值为 $K(e^2)=1/2-1/(4e^2)$。所求为 $\boxed{a\ge 1/2-1/(4e^2)}$。