2013 年黑龙江预赛 · 第 16 题

解答

不妨将已知直线上的一边记为 $AB$，另两个顶点记为 $C,D$。 正方形的对边平行，因此直线 $CD$ 可写为 $y=2x+k$。 设它与抛物线的两个不同交点横坐标为 $u<v$，则

必须有 $k>-1$。同一直线上纵坐标之差为 $2(v-u)$，所以

取 $H$ 为 $CD$ 的中点，$K$ 为 $H$ 到直线 $AB$ 的垂足。 正方形两对边间距离等于边长，故

由于 $k>-1$，有 $k+17>0$。平方并整理得

相应面积为

两种都确能构成题设正方形：对任一 $k=3,63$，抛物线与 $y=2x+k$ 有两个不同交点； 将弦沿指向 $y=2x-17$ 的单位法向平移距离 $(k+17)/\sqrt{5}=CD$， 所得平行线段就在该直线上，连接对应端点即为正方形。 因此既未保留增根，也未遗漏正方形位于直线另一侧的可能；最小面积为 $\boxed{80}$。