同一骨架 2026 年重庆预赛 · P005936
两题都需要把水平线交点按相位分支排序，先处理振幅或相位参数，再利用根的位置组合消去不必要的未知量。相位区间跨周期时，最后一个根和下一根相对端点的位置决定根数。
一个使用相邻间距的比例锁定水平值，另一个使用四根平均位置并按端点附近分支分类；闭端点也可能带来额外一根。
培玉 · 一试
2024 年北京预赛
F4填空题三角函数的图象与性质
已知函数
且 为奇函数。若方程 在 上有四个不同的实数解 ，则
的平方值为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
先独立尝试，再展开工具说明与想法来源。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
用降幂、和角公式以及余弦图象的周期与对称性即可；奇函数的常数项和偶函数项系数为零。
想法从哪来：先展开平移后的函数会出现许多三角项，但奇函数条件只要求常数项和余弦项消失，因此不必逐点代值。把四次幂先降为四倍角，便能一次确定参数与相位。第二步也不宜直接解四个x：换成标准余弦的相位t后，原区间正好覆盖两个周期。画一条水平线，注意区间的左端并非周期起点，因此两对根可能在端点两侧换班；应以最小正相位和左端相位比较来分组求和。平均点的函数值虽会变号，平方却一致。闭区间两端同时成为根时会多出一个根，必须按“四个不同根”排除。
先由平移后的奇偶性确定振幅和相位；四个根在恰好两个周期内按端点相位分成两种排列，但其平均点函数值只差符号。
解答
由
并展开 ，奇函数条件给出
所以
令 。四根对应区间 内方程 的四个根。 若 ，四个 之和为 ；若 ，四个 之和为 。 时有五根，端点情形 根数也不足四，均已由题设排除。
因此四个 的平均值分别为 或 ，其函数值分别为 或 。所求平方恒为
复核
区间长度恰为余弦函数的两个周期，唯一需要单独排除的是端点也成为根的相位；两类根集均逐项核对在给定闭区间内。
方法总结
三角方程根的和可先转成标准相位变量；当区间跨整数个周期但起点不是周期端点时，要按根相对端点的位置分类。
为什么评为 F4（会透露解法方向）
须先由平移奇性确定相位，再将闭区间四根按相位阈值分两类并排除五根端点，利用平方消除两类符号差。
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