一试训练题

解答

由 $x^3+y^3=x-y>0$ 得 $0<y<x$。令 $t=y/x\in (0,1)$，则

反过来，每个 $t\in (0,1)$ 都可用上述正平方根定义 $x$，再令 $y=tx$，得到满足原约束的正数。 因 $y^2>0$，要求等价于对一切 $t\in (0,1)$ 有

利用

右端比值恒不小于 $2+2\sqrt{2}$，并在 $t=\sqrt{2}-1\in (0,1)$ 时达到。 因此取 $\lambda =2+2\sqrt{2}$ 对全部允许的 $x,y$ 成立；若取更大值，按该 $t$ 构造的正数对即不满足要求。故所求最大值为 $\boxed{2+2\sqrt{2}}$。