2026 年山东预赛

解答

以平面 $\alpha$ 的一侧为正侧。设一条棱的两个端点位于异侧，到平面的距离分别为 $p,q>0$。沿线段作线性参数，交点把该棱分成的两段之比为 $p:q$。由条件 (2)，必有

若四个顶点按侧别分成 $1+3$，以单独一侧的距离为 $p$，则另一侧三个距离都属于 $\{p/2,p,2p\}$，连同 $p$ 至多出现 $3$ 个不同距离。

若按侧别分成 $2+2$，固定正侧一个距离为 $p$，两个负侧距离仍都属于 $\{p/2,p,2p\}$。另一个正侧距离必须与这两个负侧距离同时满足 (1)。把 $p$ 归一化为 $1$：若两个负侧距离相同，则全部距离至多是该距离的一半、该距离及其两倍，至多有三种； 若二者不同，则它们依次只可能为

另一个正侧距离的允许集合分别是 $\{\frac{1}{2},1\}$、$\{1,2\}$、$\{1\}$，仍不会产生第四种距离。因此总有

下面说明 $1,2,3$ 均可取得。取 $\alpha$ 为平面 $z=0$，下列各组四点均组成非退化四面体：

每条穿过 $z=0$ 的棱，其两端距离比均属于 $\{1:2,1:1,2:1\}$，所以都满足题设。因此所有可能值为