2017 年河南预赛 · 第 4 题

解答

取 $A=(0,0,0),B=(1,0,0),A^{\prime }=(0,0,1),B^{\prime }=(1,0,1),C^{\prime }=(1,1,1)$。侧面点 $M=(x,0,z)$，$0\le x,z\le 1$。到 $AB$ 的距离为 $z$，到 $B^{\prime }{C}^{\prime }$ 的距离为 $\sqrt{(1-x{)}^2+(1-z{)}^2}$，所以 $z=[1+(1-x{)}^2]/2$。因此轨迹上 $z\in [1/2,1]$。又 $M{C}^{\prime 2}=1+(1-x{)}^2+(1-z{)}^2=1+z^2$，最小在 $x=1,z=1/2$ 达到，故 $\boxed{\min M{C}^{\prime }=\sqrt{5}/2}$。