2013 年安徽预赛 · 第 11 题

解答

记 $D=a^2+2b^2+3c^2>0,N=ab-bc+c^2$。有 $D/2-N=[(a-b{)}^2+(b+c{)}^2]/2\ge 0$，故 $F\le 1/2$，等号当且仅当 $(a,b,c)=t(1,1,-1)$，$t\ne 0$。再令 $h=(1+\sqrt{13})/12$，则 $12h^2-2h-1=0$ 且 $0<h<1/2$。直接展开可得 $N+hD=h(a+b/(2h){)}^2+(1/2-h)(b-c/(1-2h){)}^2\ge 0$。所以 $F\ge -h$，等号当且仅当 $(a,b,c)=t(-2-\sqrt{13},(5+\sqrt{13})/2,1)$，$t\ne 0$。这两端点均合法；取两端点向量中 $t=1$ 的线段，沿途 $b>0$，故商连续且分母不为零，能取遍两端之间所有值。所求范围为 $\boxed{[-(1+\sqrt{13})/12,1/2]}$，全部最大、最小取等条件如上。