2024 年中科大少年班入围考 · 第 4 题

解答

令 $t=x/12$，并记 $H(t)=\sin 6t+\sin 4t+\sin 3t$。原函数为 $|H(x/12)|$，显然 $24\pi$ 是它的周期。展开平方，得

其中频率1只出现为 $\cos t$，系数为1。若原函数有正周期 $T$，则上式平移 $t\mapsto t+T/12$ 后仍恒等。不同整数频率的正弦、余弦线性独立；这也可通过在 $[0,2\pi ]$ 上分别乘 $\sin t$、$\cos t$ 积分验证。因此比较频率1的两系数必须有

于是 $T$ 是 $24\pi$ 的正整数倍。结合已验证的周期，最小正周期为 $\boxed{24\pi }$。